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1、第 1 讲 曲线运动 运动的合成与分解第 1 讲 曲线运动 运动的合成与分解 从近几年高考来看,本单元命题从情景上突出物理与现代科技、 生产、 生活的结合,从知 识上突出与牛顿运动定律、机械能守恒等内容的综合。具体特点有: (1)以物体的某种运动形式为背景,考查对分运动、 合运动的理解及运动的合成与分解方 法的应用,一般以选择题的形式出现。 (2)以运动项目的实际问题为背景考查平抛运动的规律及其处理方法,多以选择题的形 式出现,试题难度不大。 (3)圆周运动命题热点集中在物体的受力分析、圆周运动的基本概念及动力学知识、应 用静摩擦力分析临界问题。 (4)圆周运动综合问题主要考查其动力学问题和物
2、体做圆周运动的能量问题,其核心内 容是牛顿第二定律,动能定理、 机械能守恒等知识在圆周运动中的具体应用,多以计算题的形 式出现。 预测今后对曲线运动部分的考查点主要在平抛运动和圆周运动,特别是与能量综合考查 圆周运动的临界问题。正确进行受力分析是解答曲线运动的基本前提,充分利用牛顿运动定 律(向心力公式)是分析曲线运动的关键,注意运动的独立性原理在平抛物体运动中的应用及 其推广;能结合能量分析变速曲线运动的临界问题与最值问题是我们复习的重点和难点。 第 1 讲 曲线运动 运动的合成与分解 1曲线运动 (1)速度的方向:沿曲线上该点的切线方向。 (2)运动性质:做曲线运动的物体,速度的方向时刻改
3、变,故曲线运动一定是变速运动。 (3)曲线运动的条件 运动学角度:物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 动力学角度:物体所受合力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 注意:曲线运动一定是变速运动,但不一定是匀变速运动;曲线运动的轨迹不会出现急折, 只能平滑变化,且与速度方向相切。 (4)合力方向与轨迹的关系 曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的方向弯曲,或者说合力 的方向总是指向轨迹的凹侧。 1.1(2018 河北邯郸五校联考)下列对曲线运动的理解正确的是( )。 A.物体做曲线运动时,加速度一定变化 B.做曲线运动的物体不可能受恒力作用 C.曲线运动可能是匀变速运动
4、 D.做曲线运动的物体,速度的方向可能不变 【答案】C 1.2(2018山西太原12月考试)一个质点在多个恒力的作用下做匀速直线运动,某时刻撤去其 中一个恒力,其他力保持不变,则质点的运动一定是( )。 A.直线运动B.曲线运动 C.匀速运动D.匀变速运动 【答案】D 2运动的合成与分解 (1)分运动和合运动:一个物体同时参与几个运动,参与的这几个运动即分运动,物体的 实际运动即合运动。 (2)运动的合成:已知分运动求合运动的过程。 (3)运动的分解:已知合运动求分运动的过程。 (4)运算法则:运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、 速度、 加速度的合成 与分解,由于它们均是矢量,故合
5、成与分解都遵循平行四边形定则。 (5)合运动和分运动的关系 等时 性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等 独立 性 一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响 等效 性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 (6)合运动性质的判断 加速度 恒定:匀变速运动 变化:非匀变速运动 加速度方向与速度方向 共线:直线运动 不共线:曲线运动 (7)合运动与分运动的三个易混点: 合运动是物体的实际运动,而分运动是物体同时参与的几个运动,并不是物体的实际 运动; 两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动,也可能是曲线运动,这是由合初速 度与合加速度是否共线决定
6、的;合运动的速度不一定大于分运动的速度,合运动的速度与 分运动的速度大小具有不确定关系。 2.1(2018山西太原模拟考试)(多选)质量为0.2 kg的物体在水平面上运动,它的两个正交分 速度图线分别如图甲、乙所示,由图可知( )。 A.前 4 s 内物体的位移为 8 m2 B.从开始至 6 s 末物体一直做曲线运动 C.前 4 s 内物体做曲线运动,接下来的 2 s 内物体做直线运动 D.前 4 s 内物体做直线运动,接下来的 2 s 内物体做曲线运动 【答案】AC 2.2(2018 山东淄博模拟考试)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风,若风速越大, 则降落伞( )。 A.下落的时间
7、越短B.下落的时间越长 C.落地时速度越小D.落地时速度越大 【答案】D 2.3(2019 江西南昌开学考试)冲浪运动员驾着竞技摩托艇在海面上冲浪,在某段时间内其两 个分运动的规律为x=-2t2-6t,y=1.5t2+4t,xOy为直角坐标系,则下列说法正确的是( )。 A.摩托艇在x轴方向的分运动是匀减速直线运动 B.摩托艇的运动是匀变速直线运动 C.摩托艇的运动是匀变速曲线运动 D.摩托艇的运动轨迹开始为直线而后变为曲线 【答案】C 题型 一 小船渡河问题 1.船的实际运动:水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2.三种速度:船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3.三种
8、情况 情况图示说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间 tmin= d v船 当v水v船时,如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直,渡河位 移最短,xmin= dv水 v船 【例 1】有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为v1和v2,现在两船从同一渡 口向河对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的 地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比 为( )。 t1 t2 A. B. C. D. v22 v1 v1 v2 v22 v12 v12 v22 【解析】当v1与河岸垂直时,甲船渡河时间最短;乙船船头斜向上游开去,才有可能航程 最
9、短,由于甲、 乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸),可见乙船在静水中的 速度v2比水的流速v0要小,为满足题意,则如图所示。由图可得=sin t1 t2 v2 v1 cos=,tan= v2 v0 v0 v1 联立解得=sin v2 v1 =。 t1 t2 v22 v12 【答案】C (1)解决小船渡河问题的关键:正确区分分运动和合运动,船的航行方向也就是船头所指 方向,是分运动;船的运动也就是船的实际运动,是合运动,一般情况下与船头指向不共线。 (2)运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指 向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关
10、,与水流速度无关。 (4)在求最短渡河位移时,可以根据船在静水中的速度v船与水流速度v水的大小情况用 三角形定则求极限的方法处理。 【变式训练 1】(2018 湖南长沙 11 月考试)如图所示,河水由西向东流,河宽为 800 m,若 取河中任意一点,该点水流速度大小为v水,到较近河岸的距离为x,则v水与x的关系总满足v 水= x(m/s)(x的单位为m),让小船船头垂直河岸由南向北渡河,小船在静水中的速度大小恒 3 400 为v船=4 m/s,则下列说法正确的是( )。 A.小船渡河的轨迹为直线 B.小船在河水中的最大速度是 5 m/s C.小船在距南岸 200 m 处的速度小于在距北岸 20
11、0 m 处的速度 D.小船渡河的时间是 160 s 【解析】 小船在南北方向上为匀速直线运动,在东西方向上先加速,到达河中间后再减速, 小船的合运动是曲线运动,A项错误;当小船运动到河中间时,东西方向上的分速度最大,此时 小船的合速度最大,最大值vm=5m/s,B 项正确;小船在距南岸 200m 处的速度等于在距北岸 200m 处的速度,C 项错误;小船的渡河时间t=200s,D 项错误。 【答案】B 题型 二 绳(杆)端速度的分解问题 1.模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2.思路与方法 合速度就是物体的实际运动速度v 分速度 其一:沿绳(或杆)的分速度v1 其二:与绳(或杆)
12、垂直的分速度v2 方法:v1与v2的合成遵循平行四边形定则。 【例 2】(多选)如图甲所示,将质量为 2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量 为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与 定滑轮等高的A处由静止释放,当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处),下列说法正确的 是(重力加速度为g)( )。 甲 A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg B.小环到达B处时,重物上升的高度为(-1)d2 C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为 2 2 D.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为2 【解析】由题意可知小环刚释放时重物具有向上
13、的加速度,故绳中张力一定大于 2mg,A 项正确;小环到达B处时,绳与直杆间的夹角为 45,重物上升的高度h=(-1)d,B 项正确;2 如图乙所示,将小环速度v进行正交分解,其分速度v1与重物上升的速度大小相 等,v1=vcos45=v,所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于,C 项错 2 2 2 误,D 项正确。 乙 【答案】ABD 绳(杆)牵连物体的分析技巧 (1)解题关键 找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 (2)基本思路 先确定合速度的方向(物体实际运动的方向)。 分析合运动所产生的实际效果:一方面使绳或杆伸缩,另一方面使绳或杆转动。 确定两个分速度的方向:沿绳
14、或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度,而沿绳 或杆方向的分速度大小相等。 【变式训练2】 (2018江苏高邮开学考试)如图甲所示,顶角=60的光滑V字形轨道AOB 固定在竖直平面内,且AO竖直。 一水平杆与轨道交于M、N两点,已知杆自由下落且始终保持 水平,经时间t,速度由 6 m/s增大到 14 m/s(杆未触地),则在 0.5t时,触点N沿倾斜轨道运动 的速度大小为(重力加速度g取 10 m/s2)( )。 甲 A.10 m/sB.17 m/sC.20 m/sD.28 m/s 【解析】杆自由下落,由运动学公式有v=v0+gt,则t=s=0.8s;则在 0.5t时, v - v0 g 1
15、4 - 6 10 杆的下落速度v=v0+g=(6+100.4)m/s=10m/s;根据运动的分解,杆下落的速度可分解成 t 2 如图乙所示的两分运动,则触点 N 沿倾斜轨道运动的速度大小 v=20m/s,C 项正确。 v cos60 乙 【答案】C 1.(2018山西太原高三模拟考试)如图所示为一个物块做匀变速曲线运动的轨迹示意图,物块 运动至A点时速度大小为v0,经一段时间后运动至B点,速度大小仍为v0,但相对于A点时的 速度方向改变了 90,则在此过程中( )。 A.物块的运动轨迹AB可能是某个圆的一段圆弧 B.物块的动能可能先增大后减小 C.物块的速度大小可能为 2v0 D.物块在B点的
16、加速度方向与速度方向的夹角小于 90 【解析】 物块做匀变速曲线运动,说明物块的加速度是恒定的,而做圆周运动的物体的加 速度是时刻改变的,故运动轨迹不可能为圆弧,A 项错误;物块在A点与B点的动能相等,根据 动能定理可知,力对物块做功为零,因此力的方向垂直于A、B连线,根据曲线运动的特点 受向哪的力,轨迹向哪弯,可知力的方向垂直于A、B连线向下,因此力对物块先做负功再做 正功,动能先减小后增大,速度大小不可能为 2v0,B、 C 两项错误;物块在B点的加速度方向与 速度方向的夹角小于 90,D 项正确。 【答案】D 2.(2018 四川绵阳 9 月模拟)直角坐标系xOy在水平面(纸面)内,一质
17、点在该水平面内运动, 经过坐标原点时开始受水平力F作用,运动轨迹如图所示。设质点经过O点时沿x方向的速 度为vx,沿y方向的速度为vy,则由图可知( )。 A.vxvy,F可能沿x轴正方向 B.vxvy,F可能沿y轴正方向 C.vxvy,F可能沿x轴正方向 D.vxvy,F可能沿y轴正方向 【解析】曲线运动的合速度方向就是运动轨迹的切线方向,合速度方向就是以两个速度 为邻边作平行四边形的对角线的方向,根据曲线运动的特点受向哪的力向哪弯可知 B 项正 确。 【答案】B 3.(2018 河南豫东、豫北十校联考)(多选)如图所示,在河水速度恒定的小河中,一小船保持 船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行
18、驶,船的轨迹是一个弯曲的“S”形,则( )。 A.小船垂直河岸的速度大小恒定不变 B.小船垂直河岸的速度大小先增大后减小 C.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变长了 D.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变短了 【解析】 小船在沿河岸的方向上做匀速直线运动,即在相同的时间间隔内,在河岸方向上 的位移是相同的;在垂直于河岸的方向上,在相等的时间间隔内(参照小船在沿河岸方向上的 时间),位移先逐渐增大再逐渐减小,所以速度先增大后减小;因中间那段时间速度较大,所以 与小船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短了,B、D 两项正确。 【答案】BD 4.(2018 河北石家庄学情检测)如
19、图甲所示,小船过河时,船头与上游河岸的夹角为,其航 线恰好垂直于河岸,已知船在静水中的速度为v,现水流速度稍有增大,为保持航线不变,且 能准时到达河对岸,下列措施中可行的是( )。 甲 A.减小角,减小船速vB.减小角,增大船速v C.增大角,增大船速vD.增大角,减小船速v 【解析】由题意可知,船相对水的速度为v,其航线恰好垂直于河岸,当水流速度稍有增 大,为保持航线不变,且准时到达对岸,则船速变化如图乙所示,可知 B 项正确。 乙 【答案】B 5.(2018 山东济南高三模拟)(多选)如图所示,河的宽度为L,河水流速为v水,甲、乙两船均 以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距 2L,甲、
20、乙船头均与岸边成 60角,且乙船恰 好能直达正对岸的A点。则下列判断正确的是( )。 A.甲船正好也在A点靠岸 B.甲船在A点左侧靠岸 C.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 D.甲、乙两船到达对岸的时间相等 【解析】 渡河时间t=,乙船能垂直于河岸渡河,对乙船有v水=vcos60,可得甲船 L vsin60 在该时间内沿水流方向的位移为(vcos60+v水)=L2L,甲船在A点左侧靠岸,甲、 L vsin60 2 3 3 乙两船不能相遇。A、C 两项错误,B、D 两项正确。 【答案】BD 6.(2018 福建福州期中考试)(多选)如图所示,物体P、Q经无摩擦的定滑轮用细绳连在一起, 此时Q在竖
21、直方向匀速上升,P物体在水平力F的作用下沿水平粗糙地面向右运动,则下列说 法正确的是( )。 A.P做减速运动 B.细绳对P的作用力逐渐增大 C.P所受摩擦力逐渐增大 D.细绳对滑轮的作用力大小不变 【解析】设细绳与水平方向的夹角为,则vPcos=vQ,因为Q在竖直方向匀速上升,则 随着角的减小,vP逐渐减小,即P做减速运动,A 项正确;由于物体Q做匀速运动,故细绳的 拉力不变,即细绳对P的作用力大小不变,B 项错误;P所受摩擦力Ff=(mPg-FTsin),则随 着角的减小,P所受摩擦力逐渐增大,C项正确;两边细绳对滑轮的拉力大小不变,但是两绳 的夹角逐渐变大,故由力的合成知识可知,细绳对滑
22、轮的作用力逐渐减小,D 项错误。 【答案】AC 7.(2018山西大同十校联考)质量为2 kg的质点在x-y平面上做曲线运动,在x方向上的速度 图象和y方向上的位移图象如图所示,下列说法正确的是( )。 A.质点的初速度为 3 m/s B.2 s 末质点速度大小为 6 m/s C.质点做曲线运动的加速度大小为 3 m/s2 D.质点所受的合力为 3 N 【解析】 因为x轴方向的初速度vx=3m/s,y轴方向的初速度vy=-4m/s,所以质点的初速 度v=5m/s,A 项错误;2s 末质点在x轴方向上的速度vx=6m/s,y轴方向上的速vx2+ vy2 度vy=-4m/s,质点的速度v=2m/s
23、,B项错误;x轴方向的加速度a=1.5m/s2,yvx2+ vy213 轴方向质点做匀速运动,则质点的合力F合=ma=3N,故 C 项错误,D 项正确。 【答案】D 8.(2018 江西南昌一模)(多选)一质量为m的质点起初以速度v0做匀速直线运动,在t=0 时开 始受到恒力F作用,速度先减小后增大,其最小值v=0.5v0,由此可判断( )。 A.质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动 B.质点受到恒力F作用后可能做圆周运动 C.t=0 时恒力F方向与速度v0方向间的夹角为 60 D.恒力F作用时间时质点速度最小 3mv 0 2F 【解析】在t=0 时质点开始受到恒力F作用,加速度不变,做匀
24、变速运动,若做匀变速直 线运动,则最小速度为零,所以质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动,A 项正确;质点 在恒力作用下不可能做圆周运动,B 项错误;设恒力与初速度之间的夹角是,因为速度大小 先减小后增大,所以初速度方向与恒力方向间的夹角为钝角,最小速度v1=v0sin=0.5v0,即 =150,C 项错误;当沿恒力方向上速度为 0 时,有v0cos30-t=0,解得 t=,D 项 F m 3mv 0 2F 正确。 【答案】AD 1.(2018 北京卷,20)根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在正下方位置。但 实际上,赤道上方 200 m 处无初速下落的小球将落在正下方位置偏
25、东约 6 cm 处。 这一现象可 解释为,除重力外,由于地球自转,下落过程小球还受到一个水平向东的“力”,该“力”与竖 直方向的速度大小成正比。现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程该“力”水 平向西,则小球( )。 A.到最高点时,水平方向的加速度和速度均为零 B.到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为零 C.落地点在抛出点东侧 D.落地点在抛出点西侧 【解析】将小球竖直上抛的运动分解为水平和竖直两个分运动。上升阶段,随着小球竖 直分速度的减小,其水平向西的力逐渐变小,因此水平向西的分加速度逐渐变小,小球的水平 分运动是向西的变加速运动,当小球到最高点时水平向西的速度达到最大值,
26、在最高点速度 不为零,A 项错误;小球到最高点时竖直方向的分速度为零,由题意知小球这时不受水平方向 的力,故小球到最高点时水平分加速度为零,B项错误;下降阶段,随着小球竖直分速度的变大, 其水平向东的力逐渐变大,水平向东的分加速度逐渐变大,小球的水平分运动是向西的变减 速运动,故小球的落地点应在抛出点的西侧,C 项错误,D 项正确。 【答案】D 2.(2015 全国卷,16)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道经过 调整再进入地球同步轨道。 当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一附加 速度,使卫星沿同步轨道运行。 已知同步卫星的环绕速度约为 3.1103 m
27、/s,某次发射卫星飞 经赤道上空时的速度为 1.55103 m/s,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和 同步轨道的夹角为 30,如图甲所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )。 甲 A.西偏北,1.9103 m/s B.东偏南,1.9103 m/s C.西偏北,2.7103 m/s D.东偏南,2.7103 m/s 【解析】在转移轨道上空位置时,对卫星进行速度分解,如图乙所示。由此知,要使卫星 经点火后速度变为同步卫星的环绕速度,则vy=vy=vsin30=775m/s,方向向南;vx=vt- vcos30=1758m/s,方向向东,所以附加速度大小v=1.9103m/s
28、,方向为东vx2+ vy2 偏南,故 B 项正确。 乙 【答案】B 3.(2015 广东卷,14)如图所示,帆板在海面上以速度v朝正西方向运动,帆船以速度v朝正北 方向航行, 以帆板为参照物( )。 A.帆船朝正东方向航行,速度大小为v B.帆船朝正西方向航行,速度大小为v C.帆船朝南偏东 45方向航行,速度大小为v2 D.帆船朝北偏东 45方向航行,速度大小为v2 【解析】在东西方向,帆船相对帆板以速度v朝正东方向运动;在南北方向,帆船相对帆 板以速度v向正北方向航行,故根据速度的合成,以帆板为参照物,帆船的速度v船=v2+ v2 =v,方向为北偏东 45,故 D 项正确。2 【答案】D