《2019_2020学年高中数学课时达标训练（三）正、余弦定理在实际问题中的应用（含解析）新人教A版必修5.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019_2020学年高中数学课时达标训练（三）正、余弦定理在实际问题中的应用（含解析）新人教A版必修5.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课时达标训练(三) 正、余弦定理在实际问题中的计算课时达标训练(三) 正、余弦定理在实际问题中的计算 即时达标对点练 题组 1 测量距离问题 1甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向 上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ) A6 km B3 km3 C3 km D3 km2 解析：选 C 由题意知，AB24 6 km，BAS30，ASB753045. 1 4 由正弦定理，得BS3. ABsinBAS sinASB 6sin 30 sin 45 2 2 如
2、图所示， 为了测定河的宽度， 在一岸边选定两点A、B， 望对岸标记物C， 测得CAB 30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_m. 解析：在ABC中，CAB30，CBA75， ACB75.ACBABC. ACAB120(m) 如图，作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度 由正弦定理得， AC sinADC CD sinCAD 即， 120 sin 90 CD sin 30 CD60(m)河的宽度为 60 m. 答案：60 3.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B， 塔顶A，B的海拔高度分别为AM100米和BN200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处 测得发射
3、塔顶A的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100米后到达点Q，3 在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶A，B之 间的距离 解 ： 在 RtAMP中， APM30，AM100， PM100， 连接QM， 在PQM中， QPM3 60，PQ100，3 PQM为等边三角形， QM100.3 在 RtAMQ中，由AQ2AM2QM2， 得AQ200. 在 RtBNQ中，tan 2，BN200， BQ100，cos .5 5 5 在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，5 BA100.5 故两发射塔项A，B之间的距离是 100米5
4、 题组 2 测量高度问题 4设甲、乙两楼相距 10 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的仰 角为 30，则甲、乙两楼的高分别是( ) A. m， m B10 m,20 m 10 3 3 40 3 3 33 C10()m,20 m D10 m， m3233 40 3 3 解析 ： 选D 设甲、乙两楼分别为AB，CD，如图，由题意可知BC10，ACB60，DAE30. tanACB，AB10. AB BC 33 由AEBC10，tanDAE，得DE， DE AE 3 3 10 3 3 CDCEDEABDE.故选 D. 40 3 3 5.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上
5、前进 600 m 后测得仰角为 2， 继续在地面上前进 200 m 以后测得山峰的仰角为 4，则该山峰的高度为( )3 A200 m B300 m C400 m D100m3 解析：选 B 法一：如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600，BCDC200.3 在BCD中，由余弦定理可得 cos 2， 6002（200 3）2（200 3）2 2 600 200 3 3 2 230，460.在 RtABC中，ABBCsin 4200300，故选 B.3 3 2 法二：由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2， 1 2 即 300200cos 2.cos 2，230，460.3 3 2 在
6、 RtABC中，ABBCsin 4200300，3 3 2 故选 B. 6如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一 水平面内的两个测点C和D， 测得CD200 米， 在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是 45 和 30，且CBD30，求塔高AB. 解：在 RtABC中，ACB45，若设ABh，则BC h；在 RtABD中，ADB 30，则BD h.3 在BCD中，由余弦定理可得 CD2BC2BD22BCBDcosCBD， 即 2002h2(h)22hh，33 3 2 所以h22002， 解得h200(h200 舍去)， 即塔高AB200 米 题组三 测量角度问题
7、 7.如图所示，两座相距 60 m的建筑物AB，CD的高度分别为 20 m，50 m，BD为水平面， 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等 于( ) A30 B45 C60 D75 解析：选 B 依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由105 余弦定理得 cosCAD，又 0 AC2AD2CD2 2ACAD 30 5220 102502 2 30 5 20 10 2 2 CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为 45. 8 学校里有一棵树， 甲同学在A地测得树尖D的仰角为 45， 乙同学在B地测得树尖D 的仰角为30， 量得AB
8、AC10 m， 树根部为C(A，B，C在同一水平面上)， 则ACB _. 解析：如图所示，在 RtACD中，AC10，DAC45，DC10. 在 RtDCB中，DBC30，BC10.3 在ABC中，cosACB，ACB30. 10210 32102 2 10 10 3 3 2 答案：30 9 如图， 位于A处的信息中心获悉 ： 在其正东方向相距 40 海里的B处 有一艘渔船遇险， 在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海 里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，求 cos 的值 解：在 ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得
9、，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800， BC20.由正弦定理，得 sinACBsinBAC.7 AB sinACB BC sinBAC AB BC 21 7 BAC120， 则ACB为锐角， cos ACB. 2 7 7 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sinACBsin 30 . 2 7 7 3 2 21 7 1 2 21 14 能力提升综合练 1某人在C点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前 进 10 m 到D，测得塔顶A的仰角为 30，则塔高为( ) A15 m B5 m C10 m D .12 m 解析 ： 选 C
10、如图， 设塔高为h， 在 RtAOC中， ACO45， 则OCOAh.在 RtAOD 中，ADO30，则ODh.3 在OCD中，OCD120，CD10， 由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD， 即(h)2h21022h10cos 120，3 h25h500， 解得h10 或h5(舍) 2要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点， 在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线 及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔在这次测量中的高 度是( ) A100 m B400 m C200
11、 m D500 m23 解析：选 D 由题意画出示意图， 设高ABh，在 RtABC中，由已知BCh，在 RtABD中，由已知BDh，在BCD3 中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500， 解得h500 m. 3如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航2 行， 当甲船位于A1处时， 乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1处， 此时两船相距 20 海里， 当甲船航行 20 分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的B2处，此时两船相 距 10 海里，则乙船每小时航行( )2 A10 海里 B20 海里22
12、 C30 海里 D30 海里2 解析：选 D 如图，连接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A230 10A2B2，2 1 3 2 A1A2B2为正三角形，A1B210.2 在A1B1B2中，易知B1A1B245， B1B40020022010200， 2 2 2 2 2 B1B210，2 乙船每小时航行 30海里2 4.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在新架设了一条索道AC，小李在山脚B处 看索道AC， 测得ABC120， 从B处攀登400米后到达D处， 再看索道AC， 测得ADC150， 从D处再攀登 800 米方到达C处，则索道AC的长为 _米 解析 ：
13、在ABD中，BD400， ABD120.ADB180ADC30， DAB 30， ABBD400，AD400.在ADC中，DC800， AB2BD22ABBDcos 1203 ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos 33 150400213，AC400.故索道AC的长为 400米1313 答案：400 13 5 某船开始看见灯塔在南偏东 30方向， 后来船沿南偏东 60方向航行 30 n mile 后， 看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_n mile. 解析：如图所示，B是灯塔，A 是船的初始位置，C是船航行后的位置， 则BCA
14、D，DAB30，DAC60， 则在 RtACD中 ， DCACsin DAC30sin 6015 n mile，3 ADACcos DAC30cos 6015 n mile， 则在 RtADB中， DBADtan DAB15tan 305 n mile，3 则BCDCDB15510 n mile.333 答案：10 3 6 某人在M汽车站的北偏西 20的方向上的A处， 观察到点C处有一辆汽车沿公路向M 站行驶 公路的走向是M站的北偏东 40.开始时， 汽车到A的距离为 31 千米， 汽车前进 20 千米后，到A的距离缩短了 10 千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？ 解 ： 由题设， 画
15、出示意图， 设汽车前进 20 千米后到达B处 在ABC中，AC31，BC20，AB 21， 由余弦定理得 cos C， AC2BC2AB2 2ACBC 23 31 则 sin2C1cos2C，sin C， 432 312 12 3 31 所以 sin MACsin(120C)sin 120cos Ccos 120sin C. 35 3 62 在MAC中，由正弦定理， 得MCACsin MAC sin AMC 35. 31 3 2 35 3 62 从而有MBMCBC15. 故汽车还需要行驶 15 千米才能到达M汽车站 7 在以v km/h 的速度向东航行的科学探测船上释放了一个探测热气球， 热气
16、球顺风与 船同向， 以 2 km/h 的速度沿与水平方向成 60直线方向向上飘去， 2 h 后测得探测船与热气 球的距离为 2 km，之后热气球沿水平方向仍以 2 km/h 的速度飞行 1 h，第二次测得探测船7 与热气球的距离为s km. (1)求探测船的速度v(km/h)； (2)求第二次测距离时，从探测船位置观察热气球时仰角的正弦值 解：(1)如图所示 由题意，在ABC中，AB4，BC2v，ABC60，AC2.根据余弦定理，得AC2AB2BC27 2ABBCcos 60， 28164v28v，即v22v30，解得v3(v1 舍去)， 探测船的速度为 3 km/h. (2)过点D作DF平行于AC，交CE于点F. DFEACE，EFCECF1，DF2.7 在ABC中，由余弦定理，得 cosACB，cosDFE. 362816 2 6 2 7 2 7 7 2 7 7 sinDFE.1cos2DFE 21 7 在DEF中，根据余弦定理，得 s .2812 2 7 1 ( 2 7 7) 37 ，sinDEF. s sinDFE DF sinDEF 2 7 21 7 37 2 111 37 第二次测距离时，从探测船观察热气球时仰角的正弦值为. 2 111 37