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1、3.3.3 导数的实际应用,1.会利用导数解决实际问题中的最优化问题. 2.体会导数在解决实际问题中的作用.,1.最优化问题 在经济生活中,人们经常遇到最优化问题.例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的方法之一. 【做一做】 下列问题不是最优化问题的是( ) A.利润最大 B.用料最省 C.求导数 D.用力最省 答案:C,2.求实际问题的最大(小)值的步骤 (1)建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),注明定义域. (2)求函数的导数f(x),解方程f
2、(x)=0,确定极值点. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者为实际问题的最大(小)值.,名师点拨实际问题中的变量是有范围的,即应考虑实际问题的意义,注明定义域.,利用导数解决实际问题时应注意什么? 剖析:(1)写出变量之间的函数关系y=f(x)后一定要写出定义域. (2)求实际问题的最值,一定要从问题的实际意义去分析,不符合实际意义的极值点应舍去. (3)在实际问题中,一般地,f(x)=0在x的取值范围内仅有一个解,即函数y=f(x)只有一个极值点,则该点处的值就是问题中所指的最值.,题型 实际问题中最值的求法 【例1】 某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商
3、品,若该商品的售价定为p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.问该商品零售价定为多少时利润最大,最大利润是多少? 分析:建立销售利润关于零售价的函数,应用导数研究最值. 解:设利润为L(p),由题意可得 L(p)=(p-20)Q=(p-20)(8 300-170p-p2) =-p3-150p2+11 700p-166 000(p0), L(p)=-3p2-300p+11 700. 令L(p)=0,得p=30或p=-130(舍去). 则L(30)=23 000. 当00;当p30时,L(p)0, 当p=30时,L(p)取得极大值.根据实际问题
4、的意义知,L(30)就是最大值,即零售价定为每件30元时,利润最大,最大利润为23 000元.,反思根据课程标准的规定,有关函数最值的实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f(x)=0,且该函数在这点取得极大(小)值,那么不与区间端点的函数值比较,就可以知道这就是实际问题的最大(小)值.,【例2】 将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小? 分析:设其中一段长为x cm,则另一段长为(100-x) cm,然后用x表示出正方形与圆的面积之和S,求出方程S=0的根,该根即为所求.,反思在
5、求最值时,往往需要建立函数关系式,若问题中给出的量较多时,一定要通过建立各个量之间的关系,通过消元法达到建立函数关系式的目的.,解析:当x400时,利润f(x)=80 000-20 000-100x, 当x400时,f(x)0,当300x400时,f(x)0. 当x=300时,利润为最大. 答案:D,3把长为40 cm的铁丝围成矩形,当长为 cm,宽为 cm时,矩形面积最大. 答案:10 10 4将长为52 cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为21及32的矩形,则面积之和的最小值为 cm2. 解析:设剪成的2段中其中一段为x cm,x(0,52),则另一段为(52-x) cm,围成两个矩形的面积和为S cm2.,令S=0,解得x=27.则另一段为52-27=25(cm).此时Smin=78 cm2. 答案:78,