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1、四 直角三角形的射影定理,1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影. 2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.,1,2,1.射影 从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影. 【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( ) A.点 B.线段 C.与MN等长的线段 D.直线 解析:当MNl时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条线段;特别地,当MNl或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影不可能是直线. 答案:D,1,2,2.射影定理
2、,1,2,名师点拨 1.勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.,1,2,【做一做2-1】 如图,已知在RtABC中,ACCB,CDAB于点D,且CD=4,则ADDB等于( ) A.16 B.4 C.2 D.不确定 解析:ACCB,CDAB, ADDB=CD2. 又CD=4,ADDB=42=16. 答案:A,1,2,【做一做2-2】 如图,已知在RtABC中,ACBC,点C在AB上的正射影为点D,且AC=3,AD=2,则AB= . 解析:ACCB, 又点D是点C在AB上的正射影, CDAB,AC2=ADAB. 又AC=3,AD=2,用射影定理证明勾股定
3、理 剖析:如图,在RtABC中,ACCB,CDAB于点D,则由射影定理可得AC2=ADAB,BC2=BDBA, 则AC2+BC2=ADAB+BDBA=(AD+BD)AB=AB2,即AC2+BC2=AB2. 由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.,题型一,题型二,题型三,【例1】 若CD是RtACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定DB和CD的长. 分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用 射影定理求出CD. 解:ACCB,CDAB, AC2=AD
4、AB,CD2=ADDB.,题型一,题型二,题型三,反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后用勾股定理求出CD;此外还有其他方法. 2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来解.如本题中,直角三角形中的六条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 如图,在RtABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长. 解:ACCB,CDAB, CD2=ADDB=26=12,题型一,题型二,题型三,【例2】 如图
5、,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,BE平分ABC交AC于点E,EFBC于点F.求证:EFDF=BCAC.,题型一,题型二,题型三,反思利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例的基本性质加以灵活运用.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,易错点:射影定理记忆不牢而致错 【例3】 在RtACB中,ACB=90,CDAB于点D,若BDAD=19,则tanBCD= . 错解:在RtACB中,设BD=x,则AD=9x, 又CD2=ADAB, 错因分析:本题的错因是没有准确地记住射影定理中的三组公式,误认为CD2=ADAB致误.,题型一,题型二,题型三,正解:在RtACB中,CDAB,由射影定理得CD2=ADBD. 又BDAD=19,令BD=x, 则AD=9x(x0). CD2=9x2. CD=3x.,