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1、2.1.1 平面,1.知道平面的概念,了解平面的基本性质,会用图形和字母表示平面. 2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用,并能确定平面的个数.,1,2,3,4,5,1.平面,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,【做一做1】 如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( ) A.平面MN B.平面NQ C.平面 D.平面MNPQ 解析:MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角线,所以该平面不能记作平面MN. 答案:A,1,2,3,4,5,2.点、线、面的位置关系的表示 A是点,l,m是直线,是
2、平面.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“”或“”表示; (2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“”或“”表示; (3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“”或“”表示.,1,2,3,4,5,【做一做2-1】 若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,之间的关系可记为( ) A.Ma,a B.Ma,a C.Ma,a D.Ma,a 答案:B,【做一做2-2】 若平面与平面相交于直线m,则用符号语言可表示为 . 答案
3、:=m,1,2,3,4,5,3.公理1,1,2,3,4,5,名师点拨公理1的内容反映了直线与平面的位置关系.“线上两点在平面内”是公理的条件,结论是“线上所有点都在平面内”.从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集.,1,2,3,4,5,【做一做3】 已知直线m平面,点Pm,点Qm,则 ( ) A.P,Q B.P,Q C.P,Q D.Q 解析:因为Qm,m,所以Q. 因为Pm,所以有可能P,也有可能P. 答案:D,1,2,3,4,5,4.公理2,1,2,3,4,5,名师点拨1.公理2的条件是“过不在一条直线上的
4、三点”,结论是“有且只有一个平面”. 2.公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在和唯一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替,否则就没有表达出存在性.,1,2,3,4,5,【做一做4】 三点可确定平面的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1或无数个 解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面. 答案:D,1,2,3,4,5,5.公理3,1,2,3,4,5,【做一做5】 如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( ) A.没有其他公共点 B.仅有三个公共点 C
5、.仅有两个公共点 D.有无数个公共点 答案:D,1,2,3,1.对平面的理解 剖析:几何中的平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念.生活中的平面是比较平整、有限的;而几何中所说的平面是从生活中常见的物体中抽象、概括出来的,是理想的、绝对平整的、无限延伸的.几何中的平面无大小、厚薄之分,是不可度量的,可以向四周无限延伸.总结起来,平面应具有如下特点: (1)平面是平的; (2)平面是没有厚度的; (3)平面是无限延展且没有边界的; (4)平面是由空间点、线组成的无限集合; (5)平面图形是空间图形的重要组成部分. 生活中的一些物体通常呈平面形状,如课桌面、黑板面等都给我们以平面的形象.这种借
6、助于实例引入平面的概念是必要的,对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延伸性来理解.,1,2,3,2.公理2的推论 剖析:由公理2可以得到三个推论,如下表.,1,2,3,下面仅证明推论2,另两个推论请你试着证明. 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 已知:P是点,a,b是直线,且ab=P. 求证:经过直线a,b有且只有一个平面. 证明:如图,在直线a,b上分别取与点P不同的点A和点B,则A,B,P是不共线的三点,则过这三点有且只有一个平面. 所以Aa,Pa,A,P, 即a. 同理,b.所以平面是经过直线a,b的一个平面.,1,2,3,假设经过直线a,b还有一个平面,那么A,B,P三
7、点也一定在平面内.这样过不共线的三点A,B,P就有两个平面和,这与公理2矛盾. 所以经过相交直线a,b只有一个平面. 由和,知经过直线a,b有且只有一个平面. 这三个推论与公理2的作用相同,都是确定平面的依据.,1,2,3,3.对公理3的理解 剖析:(1)如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线; (2)如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线; (3)如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.,题型一,题型二,【例1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面,交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平面交于PB,平
8、面与平面交于PC; (2)平面ABD与平面BCD相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. 解:(1)符号语言:=P,=PA,=PB,=PC.图形表示如图. (2)符号语言:平面ABD平面BCD=BD,平面ABC平面ADC=AC.图形表示如图.,题型三,题型一,题型二,反思1.用文字语言、符号语言表示图形中的点、线、面的位置关系时,先辨别图形中有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系,再用符号语言或文字语言表示. 2.要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”. 3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.,题型三,
9、题型一,题型二,【变式训练1】 用文字语言和符号语言表示下图. 解:文字语言:平面内的两条直线m和n相交于点A. 符号语言:m,n,且mn=A.,题型三,题型一,题型二,【例2】 证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 已知:如图,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 分析:证明多线共面,一般先选取两条直线确定一个平面,再证明其他直线都在这个平面内.,题型三,题型一,题型二,证法一:(同一法) l1l2=A,l1和l2确定一个平面. l2l3=B,Bl2.l2,B. 同理可证C.又Bl3,Cl3,l3. 直线l1,l2,l3在同一平面内.
10、 证法二:(重合法) l1l2=A,l1,l2确定一个平面. l2l3=B,l2,l3确定一个平面. Al2,l2,A. Al2,l2,A. 同理可证B,B,C,C. 不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内. 平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.,题型三,题型一,题型二,反思证明点、线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证明其他的点(或线)在这个平面内;或先由部分点线确定一个平面,再由其他点线确定另外的平面,最后证明这些平面重合.,题型三,题型一,题型二,【变式训练2】 已知直线l与四边形ABCD的三边AB,AD,CD所在的直线分别相交于点E,F,G.求证:四边形A
11、BCD是平面四边形.,证明:设AB,AD确定的平面为,则E,F,于是l. Gl,G.DG, 即DC.C. 故A,B,C,D四点共面,即四边形ABCD为平面四边形.,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 如图,已知=l,梯形ABCD的两底为AD,BC,且满足AB,CD,求证:AB,CD,l交于一点.,分析:本题可证明AB与CD的交点在平面和的交线l上. 证明:因为AD,BC是梯形ABCD的两个底边, 所以AB与CD必交于一点.设ABCD=M,则MCD,且MAB. 又AB,CD,所以M,且M,即M是平面与的公共点. 因为=l,所以Ml,即AB,CD,l交于一点.,题型一,题型二,题型三,反思证明多线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他的直线上,而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 如图,在三棱锥S-ABC的棱SA,SC,AB,BC上分别取点E,F,G,H,若EFGH=P,求证:直线EF,GH,AC交于一点. 证明:ESA,SA平面SAC,FSC,SC平面SAC, E平面SAC,F平面SAC. EF平面SAC. 同理可得GH平面ABC. 又EFGH=P,P平面SAC,P平面ABC. 平面SAC平面ABC=AC,PAC, 即直线EF,GH,AC交于一点P.,