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1、本章整合,专题1,专题2,专题3,专题4,专题1 复数运算中的常用技巧 复数的加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,复数的加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式的乘法,除法类比根式的分子分母有理化,注意i2=-1. 在进行复数的运算时,要灵活利用i,的性质,或适当变形创造条件,从而转化为关于i,的计算问题,并注意以下结论的灵活应用: (1)i的乘方:i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(kZ); (2)(1i)2=2i;,专题1,专题2,专题3,专题4,(5)作复数的除法运算时,技巧为 .利用此结论可使一些特殊的计算过程简单化.,专题1,专题2,专题3
2、,专题4,应用计算:,专题1,专题2,专题3,专题4,专题1,专题2,专题3,专题4,专题2 代入法、转化与化归思想 在复数中,代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题,或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题,可降低解题难度,简化解题过程.反过来,有时将实数问题、几何问题、三角问题化归为复数问题,也可使问题迎刃而解. 应用已知 是纯虚数, 求z在复平面内对应的点的轨迹.,专题1,专题2,专题3,专题4,解:设z=x+yi(x,yR),专题1,专题2,专题3,专题4,专题3 数形结合的思想 由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义,对于复数问题,如能剖析问题中的几何背景,将抽象的数学语
3、言和直观的图形结合起来,就能借助几何图形,活跃解题思路,使解题过程简化. (1)复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题. (2)任何一个复数z=a+bi(a,bR)与复平面内一点Z(a,b)对应,而任一点Z(a,b)又可以与以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量,专题1,专题2,专题3,专题4,(3)复数的加法、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则. 由减法的几何意义知|z-z1|表示复平面上两点Z,Z1间的距离. (4)复数形式的基本轨迹.
4、 当|z-z1|=r时,表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆;单位圆为|z|=1. 当|z-z1|=|z-z2|时,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.,专题1,专题2,专题3,专题4,应用复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最值. 提示:利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释,借助于几何意义求出最值. 解:|z+i|+|z-i|=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1),B(0,1)的距离之和为2,而|AB|=2,所以条件表示以A,B为端点的线段,而|z+1+i|=|z-(-1-i)|表示点Z到点C(-1,-1)的距离
5、,因而,问题的几何意义是求线段AB上的点到C点的距离的最大值与最小值,如图,易见,专题1,专题2,专题3,专题4,专题4 共轭复数与模的关系 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念,在解决有关的复数问题时,除了用共轭复数的定义与模的计算公式解题外,也常用,应用已知z1与z2是非零复数,且|z1+z2|=|z1-z2|,求证 .,专题1,专题2,专题3,专题4,1,2,3,4,5,6,7,8,1(湖南高考)若a,bR,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则 ( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析:由(a+i)i=b+i,得ai-1
6、=b+i, 所以a=1,b=-1. 答案:C,1,2,3,4,5,6,7,8,A.0 B.2i C.-2i D.4i,答案:A,1,2,3,4,5,6,7,8,3(山东高考)复数z i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,复数z在复平面内对应的点在第四象限. 答案:D,1,2,3,4,5,6,7,8,答案:A,1,2,3,4,5,6,7,8,5(上海高考)若 是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则( ) A.b=2,c=3 B.b=2,c=-1 C.b=-2,c=-1 D.b=-2,c=3,答案:D,1,2,3,4,5,6,7,8,根据复数相等的充要条件可得a=5,b=3,故a+b=8. 答案:8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析:由题意可得,3+bi=(a+bi)(1-i)=(a+b)+(b-a)i,故a+b=3. 答案:3,1,2,3,4,5,6,7,8,8(上海高考)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2. 解:(z1-2)(1+i)=1-i,z1=2-i. 设z2=a+2i,aR. z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. z1z2R,a=4,z2=4+2i.,