《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：1.3.2 球的体积和表面积 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：1.3.2 球的体积和表面积 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3.2 球的体积和表面积 知识导图 学法指导 1.球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知 道了球的半径就可求出球的体积和表面积 2在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我 们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平 面图形的问题来解决 高考导航 高考考查球的题型有： (1)计算球的表面积或体积； (2)求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积 常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值 5 分. 知识点 球的表面积与体积公式 1.一个关键 掌握好球的表面积公式 S球4R2， 球的体积公式 V球 R3是计 4 3 算球的表面积和体积的关键
2、，半径与球心是确定球的条件掌握好公 式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了 2两个结论 (1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方 (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方 小试身手小试身手 1判断下列命题是否正确. (正确的打“” ，错误的打“”) (1)两个球的半径之比为 1：3，则其表面积之比为 1：9.( ) (2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( ) 答案：(1) (2) 2如果两个球的体积之比为 8：27，那么两个球的表面积之比 为( ) A8：27 B2：3 C4：9 D2：9 解析：8：27， ( 4 3r 3) ( 4 3R 3) r：
3、R2：3，S1：S24：9. 答案：C 3一条直线被一个半径为 13 的球截得的线段长为 24，则球心到 直线的距离为( ) A13 B12 C5 D24 解析：如图所示，d5.132122 答案：C 4一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的 三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为_ 解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即 2R ，所以球的表面积 S4R214.12223214 答案：14 类型一 球的体积与表面积 例 1 (1)球的体积是，则此球的表面积是( ) 32 3 A12 B16 C. D. 16 3 64 3 (2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为 12
4、cm 的水，若放入三个相同的 球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图 所示)，则球的半径是_cm. 【解析】 (1)设球的半径为 R， 则由已知得 R3， 解得 R2. 4 3 32 3 故球的表面积 S表4R216. (2)设球半径为r cm， 则由3V球V水V圆柱可得3 r3r212 4 3 r26r，解得 r6.故球的半径是 6 cm. 【答案】 (1)B (2)6, 利用球的体积公式先求半径 R，再利用球的表面积公式求解 方法归纳 计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面 积公式 S球4R2中系数的特征及半径的平方 必要时需逆用表面积公 式得到
5、球的半径关于表面积的关系式同时还应注意体积公式 V球4 3 R3中系数的特征及半径的立方 注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与 拼接，避免重叠 , 跟踪训练 1 (1)把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大 为原来的( ) A 2 倍 B 2倍 C.倍 22 D3倍2 (2)一个半球的表面积为 1，则相对应的此球的半径应为( ) A. B. C. D. 1 3 3 3 3 3 3 3 解析：(1)设改变前、后球的半径分别是 r，r，则由条件可知 4r224r2. rr，V2.2 4r3 3 2 4r3 3 (2)S表r22r21，r. 3 3 答案：(1)B (2)
6、C 先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比 类型二 球的截面问题 例 2 (1)一平面截一球得到直径为 2 cm 的圆面，球心到这个5 圆面的距离是 2 cm，则该球的体积是( ) A12 cm3 B36 cm3 C64 cm3 6 D108 cm3 (2)已知球的两平行截面的面积分别为 5 和 8，它们位于球心的 同一侧，且距离为 1，则这个球的表面积为_ 【解析】 (1)设球心为 O，截面圆的圆心为 O1，如图所示，连接 OO1，则 OO1垂直于截面圆 O1. 在 RtOO1A 中，O1A cm，OO12 cm，5 球的半径 ROA3 (cm)， 22 52 球的体积 V 3
7、336 (cm3) 4 3 (2)如图所示，设以 r1为半径，O1为圆心的截面圆的面积为 5， 以 r2为半径， O2为圆心的截面圆的面积为 8， 球的半径为 R， OO2x， 则 O1O21. 在 RtOO2A 中，OAR，OO2x，O2Ar2，则 r R2x2，r 2 2 (R2x2)8，即 R2x28 . 2 2 在 RtOO1B 中， OBR， OO1x1， O1Br1， 则 r R2(x1)2， 2 1 r R2(x1)25，即 R2(x1)25 . 2 1 由得 x1，R3. 球的表面积为 S4R243236. 【答案】 (1)B (2)36 (1)作经过球心和截面圆圆心的轴截面；
8、 (2)作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三 角形，再求解 方法归纳 球的截面问题的解题方法 对于球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转 化为平面中圆的有关问题解决球的半径 R，球心到截面的距离 d，截 面圆的半径r恰好构成直角三角形， 利用三个量之间的关系d2R2r2， 可知二求一 跟踪训练 2 球面上有三个点 A， B， C， 其中 AB18， BC24， AC 30，且球心到平面 ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为 ( ) A20 B30 C10 D1533 解析：平面 ABC 截球所得的截面是一个圆面，A，B，C 三点在这 个圆面的圆上，
9、AB18， BC24， AC30， AC2AB2BC2， AC 为这个圆的直径 设 AC 的中点为 M，球心为 O，球的半径为 R，则 M 为截面圆的 圆心，MA 为其半径， 在 RtOMA 中， OMA90， OM R， MA AC 3015， 1 2 1 2 1 2 OAR，由勾股定理得( R)2152R2，解得 R10. 1 2 3 答案：C 先证明三角形ABC是直角三角形， AC是斜边， 设AC的中点为M， 则 M 为截面圆的圆心，MA 为其半径，求出 MA，找到 OM 与球半径 的关系，利用勾股定理求出球半径即可, 类型三 内切球与外接球问题 例 3 已知 A，B 是球 O 的球面上
10、两点，AOB90，C 为该球 面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积 为( ) A36 B64 C144 D256 【解析】 如图，设球的半径为 R， 因为AOB90， 所以 SAOB R2. 1 2 因为 VOABCVCAOB，而AOB 面积为定值， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC最大， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时， 体积 VOABC 最大为 R2R36， 1 3 1 2 所以 R6. 所以球 O 的表面积 S4R2462144.故选 C. 【答案】 C 解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的
11、辅 助图形，确定有关元素间的位置和数量关系 方法归纳 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的 位置与几何体的关系一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何 体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等 (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或 半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转 化为平面问题来计算 跟踪训练 3 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A B. C. D. 3 4 2 4 解析 ： 如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径 R1， 圆柱的高 h1，则圆柱上、
12、下底面圆的半径 r，则12(1 2) 2 3 2 圆柱的体积 Vr2h.故选 B. 3 4 答案：B 先确定圆柱上、下底面圆的半径，然后再求该圆柱的体积. 1.3.2 基础巩固基础巩固(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1已知两个球的半径之比为 1：3，那么这两个球的表面积之比 为( ) A1：9 B1：27 C1：3 D1：1 解析：设两球的半径分别为 r1，r2，表面积分别为 S1，S2， r1：r21：3，S1：S24r ：4r r ：r 1：9.故 2 12 22 12 2 选 A. 答案：A 2 2019安徽省合肥市检测平面 截球 O 所得截
13、面圆的半径为 1， 球心 O 到平面 的距离为，则此球的体积为( )2 A. B463 C4 D663 解析 ： 球的半径 R， 所以球的体积 V ( 12 223 4 3 3 )34.3 答案：B 3两球的体积之和是 12，它们的大圆周长之和是 6，则大球与 小球的半径之差是( ) A1 B2 C3 D4 解析：设大球半径为 R，小球半径为 r，所以Error!Error!得Error!Error!，所 以 Rr211. 答案：A 4已知一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积 是( ) A8 B6 C4 D 解析 ： 设该正方体的棱长为 a， 内切球的半径为 r， 则 a38，
14、 a2， 正方体的内切球直径为 2，r1，内切球的表面积 S4r24. 答案：C 5半径为的球的体积与一个长、宽分别为 6,4 的长方体的体 3 36 积相等，则长方体的表面积为( ) A44 B54 C88 D108 解析 ： 由题意知， 球的半径 R， 故球的体积为 R3 3 36 4 3 4 3 36 48， 则长方体的高为 48642， 故长方体的表面积为 2(6442 62)88. 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6已知三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，三棱锥 PABC 的体积为_ 解析：依题意有，三棱锥 P
15、ABC 的体积 V SABC|PA| 223. 1 3 1 3 3 4 3 答案：3 7把直径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球， 则这个大铁球的半径为_ cm. 解析：设大铁球的半径为 R cm，由 R3 3 3 4 3 4 3 ( 6 2) 4 3 ( 8 2) 4 3 3，得 R3216，得 R6. ( 10 2) 答案：6 8湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一 个直径为 6 cm，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是_ cm，表面 积是_ cm2. 解析： 设球心为 O，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小 圆圆心为 D，
16、AB 为小圆 D 的一条直径， 设球的半径为 R， 则 OD(R1) cm， 则(R1)232R2， 解之得 R5 cm， 所以该球表面积为 S4R2452100(cm2) 答案：5 100 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9 若三个球的表面积之比为 1： 4： 9， 求这三个球的体积之比 解析：设三个球的半径分别为 R1，R2，R3， 三个球的表面积之比为 1：4：9， 4R ： 4R ： 4R 1： 4： 9，即 R ： R ： R 1： 4 ： 2 12 22 32 12 22 3 9， R1：R2：R31：2：3， V1：V2：V3 R ： R ： R R ：R ：R 1
17、： 4 3 3 1 4 3 3 2 4 3 3 33 13 23 3 8：27. 10已知球心 O 到过球面上三点 A，B，C 的截面的距离等于球半 径的一半，且 ABBCCA3 cm，求球的体积 解析 ： 如图所示，设过 A，B，C 三点的截面为圆 O，连接 OO， AO，AO， 因为 ABBCCA3 cm， 所以 O为正三角形 ABC 的中心， 且 AOAB cm. 3 3 3 设球的半径为 R，则 OO R. 1 2 由球的截面性质，知OOA 为直角三角形， 所以 AOR，所以 R2 cm.OA2OO2 R21 4R 2 3 2 所以 V球 R3 (cm3) 4 3 32 3 能力提升能
18、力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A B.3 4 C. D. 2 4 解析：设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形 r.12(1 2) 2 3 2 圆柱的体积为 Vr2h 1. 3 4 3 4 故选 B. 答案：B 12长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、，则它3515 的外接球的表面积为_ 解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为 x、y、z，则由 已知得Error!Error!解得E
19、rror!Error!所以球的半径R .所以S球 1 2 x2y2z2 3 2 4R29. 答案：9 13有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这 个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三 个球的表面积之比 解析 ： 设正方体棱长为a， 三个球的半径依次为R1， R2， R3， 则有2R1 a， R1 ，a2R2， R2a，a2R3， R3a， 所以 R1： R2 ： a 2 2 2 2 3 3 2 R31：.所以 S1：S2：S3R ：R ：R 1：2：3.23 2 12 22 3 即这三个球的表面积之比为 1：2：3. 14一个高为 16 的圆锥内接于一个体
20、积为 972 的球，在圆锥内 又有一个内切球求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积 解析 ： (1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形 SAB 内接于圆 O， 而圆 O1内切于SAB. 设圆 O 的半径为 R，则有 R3972， 4 3 所以 R3729，R9， 所以 SE18. 又因为 SD16，所以 ED2. 连接 AE，因为 SE 是直径， 所以 SAAE，SA2SDSE1618288， 所以 SA12 . 2 因为 ABSD，所以 AD2SDDE16232，AD4 . 2 所以 S圆锥侧41296.22 (2)设内切球 O1的半径为 r， 因为SAB 的周长为 2(124)32，222 所以 SSAB r32 816，所以 r4. 1 2 2 1 2 2 所以内切球 O1的体积 V球 r3. 4 3 256 3