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1、第三章检测(A) (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.若物体运动的方程为 s = 1 4 4 3,则 = 5时的瞬时速度为( ) A.5B.25C.125D.625 解析:v=s=t3, t=5时的瞬时速度为 125. 答案:C 2.函数 y=x2cos x的导数为( ) A.y=2xcos x-x2sin x B.y=2xcos x+x2sin x C.y=x2cos x-2xsin x D.y=xcos x-x2sin x 解析:y=2xcos x-x2sin x. 答案:
2、A 3.函数 f(x)= 1 3 3 + 3 2 2 1 在区间(0,3)内( ) A.是减函数B.是增函数C.有极大值D.有极小值 解析:f(x)=-x2+3x + 1 2 = (3 ) + 1 2, 当 x(0,3)时,x(3-x)0,即 f(x)0. 故 f(x)在(0,3)内是增函数. 答案:B 4.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a=( ) A.9B.6C.-9D.-6 解析:由题意知 y|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6.故选 D. 答案:D 5.若曲线 y=x4的一条切线 l与直线 x+4y-8=0
3、垂直,则 l 的方程为( ) A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0 解析:与直线 x+4y-8=0 垂直的直线 l 为 4x-y+m=0,即 y=x4在某一点处的导数为 4,而 y=4x3. 令 4x3=4,得 x=1. 故 y=x4在点(1,1)处的导数为 4,曲线 y=x4在此点的切线方程为 4x-y-3=0. 答案:A 6.若函数 f(x)=x2+ax + 1 在( 1 2, + )内是增函数,则的取值范围是( ) A.-1,0B.-1,+)C.0,3D.3,+) 解析:f(x)=2x+a 1 2. f(x),在( 1 2, + )内是增函数
4、 当 x,f(x)0 恒成立, ( 1 2, + )时 即 a,令 g(x) 1 2 2恒成立 = 1 2 2. g(x)= 1 3 2 0,f(x)是增函数, 所以函数 y=f(x)的图象可能为 D,故选 D. 答案:D 8.已知 P,Q为抛物线 x2=2y上的两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过点 P,Q 分别作抛物线的切线,两 切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ) A.1B.3C.-4D.-8 解析:如图,由已知可得点 P(4,8),点 Q(-2,2). 抛物线方程可化为 y = 1 22, y=x. 过点 P 的切线斜率方程为 y| = 4= 4, 过点 P 的切线方程
5、为 y-8=4(x-4), 即 y=4x-8. 又过点 Q的切线斜率为 y| = - 2= 2, 过点 Q的切线方程为 y-2=-2(x+2), 即 y=-2x-2. 联立 = 4 - 8, = - 2 - 2,解得 = 1, = - 4, 故点 A 的纵坐标为-4. 答案:C 9.设函数 f(x)=ex(sin x-cos x)(0x2 016),则函数 f(x)的各极小值之和为( ) A. e2(1 - e2 016) 1 - e2 B. e2(1 - e1 008) 1 - e C. e2(1 - e1 008) 1 - e2 D. e2(1 - e2 014) 1 - e2 解析:f(
6、x)=2exsin x,令 f(x)0,则 x(2k+2,2k+3)(kZ). 当 x=2k+2时,f(x)取极小值为 f(2+2k)=e2k+2sin(2+2k)-cos(2+2k)=-e2k+2, 故函数 f(x)的各极小值之和为 S=-e2-e4-e2 014= e2(1 - e2 014) 1 - e2 . (注:f(x)在 2 016处不符合极值定义,故不存在极小值) 答案:D 10.若定义在(0,+)内的可导函数 f(x)满足 f(x)x 0的解集为( ) A.(0,2)B.(0,2)(2,+) C.(2,+)D. 解析:令 g(x) = () , 则 g(x) = () - ()
7、 2 . f(x)x0. (0,2). () 0的解集为 答案:A 二、填空题(本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分.把答案填在题中的横线上) 11.曲线 y=x2+ 1 在点(1,2)处的切线方程为_. 解析:设 y=f(x),则 f(x)=2xf(1)=2-1=1. 1 2 ,所以 所以曲线 y=x2(1,2)处的切线方程为 y-2=1(x-1),即 y=x+1.+ 1 在点 答案:y=x+1 12.设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,cR,且 abc),则 () + () + () = _. 解析:f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a
8、)(x-b),f(a)=(a-b)(a-c), 同理 f(b)=(b-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b), 故 () + () + () = ( - )( - ) + ( - )( - ) + ( - )( - ) = ( - ) - ( - ) + ( - ) ( - )( - )( - ) = - - + + - ( - )( - )( - ) = 0. 答案:0 13.若曲线 f(x)=ax3+ln x存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a的取值范围是 . 解析:由题意可知 f(x)=3ax2+ 1 ( 0). 若函数存在垂直于 y轴的切线,即 3ax2,故 a=+ 1 = 0
9、有解 1 33. x0, 1 33 0 恒成立,故 =(-4a)2-432a=16a2-24a0的解集是x|002x-x2000,f(x)单调递增, 2)和(2, + )内 2,2 )内 f(,f,故正确. 2)是极小值 (2)是极大值 由题意知,f,且无最小值,故错误,正确.( 2)为最大值 答案: 三、解答题(本大题共 5小题,共 45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)已知函数 f(x)=ax3+x2(aR)在 x= 4 3处取得极值. (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性. 解:(1)对 f(x)求导得 f(x)=3
10、ax2+2x. 因为 f(x)在 x=,所以 f3a 4 3处取得极值 (- 4 3) = 0,即 16 9 + 2(- 4 3) = 16 3 8 3 = 0, 解得 a = 1 2. (2)由(1)得 g(x) =(1 2 3+ 2), 故 g(x) =(3 2 2+ 2)+ ( 1 2 3+ 2)= ( 1 2 3+ 5 2 2+ 2)= 1 2( + 1)( + 4) . 令 g(x)=0,解得 x=0,x=-1或 x=-4. 当 x0,g(x)为增函数; 当-10 时,g(x)0,g(x)为增函数. 综上知 g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)
11、内为增函数. 17.(8分)设 L 为曲线 C:y = ln 在点(1,0)处的切线. (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. (1)解:设 f(x)f(x)= ln ,则= 1 - ln 2 . 因为 f(1)=1,所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L的下方等价于 g(x)0(x0,x1). g(x)满足 g(1)=0,且 g(x)=1-f(x) = 2- 1 + ln 2 . 当 01 时,x2-10,ln x0, 则 g(x)0,即 g(x)在(1,+)内单调递增
12、. 因此 g(x)g(1)=0(x0,x1). 故除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 18.(9分)已知 f(x)=-ax+x3,xR. (1)当 x=1时,f(x)取得极值,证明:对任意 x1,x2-1,1,不等式|f(x1)-f(x2)|4 恒成立; (2)若 f(x)是1,+)内的单调函数,求实数 a 的取值范围. (1)证明:f(x)=3x2-a,且 x=1 是 y=f(x)的一个极值点,f(1)=3-a=0,a=3. f(x)=3x2-3,f(x)=x3-3x. 当-11 时,g(x)0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立. (1
13、)解:f(x)=2ax 1 = 22 - 1 ( 0). 当 a0时,f(x)0时,由 f(x)=0,得 x = 1 2. 当 x,f(x)0,f(x)单调递增. ( 1 2, + )时 (2)证明:令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1. 当 x1 时,s(x)0,所以 ex-1x, 从而 g(x) = 1 1 e - 1 0. (3)解:由(2)可知,当 x1时,g(x)0. 当 a0,x1 时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有 a0. 当 0 1. 由(1)知( 1 2) 0, 所以此时 f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立
14、. 当 a,令 h(x)=f(x)-g(x)(x1). 1 2时 当 x1 时,h(x)=2ax 1 + 1 2 1 1 + 1 2 1 = 3- 2 + 1 2 2- 2 + 1 2 0. 因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增. 又因为 h(1)=0,所以当 x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即 f(x)g(x)恒成立. 综上,a 1 2, + ). 20.(10分)已知函数 f(x)R.= 1 3 3 1 2 2, (1)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程; (2)设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并
15、判断有无极值,有极值时求出极值. 解:(1)由题意 f(x)=x2-ax,所以当 a=2 时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以 f(3)=3,因此曲线 y=f(x)在点(3,f(3)处 的切线方程是 y=3(x-3),即 3x-y-9=0. (2)因为 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以 g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x =(x-a)(x-sin x). 令 h(x)=x-sin x,则 h(x)=1-cos x0, 所以 h(x)在 R 上单调递增. 因为 h(0)=0,所以当 x0时,h(
16、x)0; 当 x0,g(x)单调递增; 当 x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当 x=a 时 g(x)取到极大值,极大值是 g(a)=a,当 x=0 时 g(x)取到极小值,极小值是 1 6 3 sin g(0)=-a. 当 a=0时,g(x)=x(x-sin x),当 x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增; 所以 g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. 当 a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x), 当 x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增; 当 x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增. 所以当 x=0 时 g(x)取到极大值,极大值是 g(0)=-a; 当 x=a 时 g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=a.3 sin 综上所述:当 a0时,函数 g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极 大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=a. 1 6 3 sin