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1、第第 3课时课时 导数的应用及定积分的简单应用导数的应用及定积分的简单应用 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.函数 y=x-ex的递增区间为( ) A.(1,+)B.(0,+)C.(-,0)D.(-,1) 解析:f(x)=1-ex,f(x)0的解为 x21D.a=0 或 a=21 解析:f(x)=3x2+2ax+7a,当相应一元二次方程的根的判别式 =4a2-84a0,即 0a21时,f(x)0恒成立,此时函数 f(x)不存在极值点.故选 A. 答案:A 4.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减少的,则 b的取值范围是( ) 1 2 A.-1,+)B.(-1,+)
2、 C.(-,-1D.(-,-1) 解析:f(x)=-x+0,x(-1,+),即 f(x)=0,即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0.1+b0,b-1. + 2 - 2 - 2 + + 2 答案:C 5.函数 f(x)=-x3+x2+x-2 的零点个数及分布情况为( ) A.一个零点,在内 (- , - 1 3) B.两个零点,分别在,(0,+)内 (- , - 1 3) C.三个零点,分别在,(1,+)内 (- , - 1 3),( - 1 3 ,0 ) D.三个零点,分别在,(0,1),(1,+)内 (- , - 1 3) 解析:利用导数法易得函数 f(x)在上是减少的,在上是增加的
3、,在(1,+)上是减少的,而 f=- (- , - 1 3) (- 1 3 ,1 )(- 1 3) 59 27 0). 2+ (1)若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值-2,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)上是增加的,求 b 的取值范围. 解(1)由题知 f(x)=. ( - 2) ( 2+ )2 因为函数 f(x)在 x=-1 处取得极值-2,所以 ( - 1) = 0, ( - 1) = - 2 = 4, = 1. (2)函数 f(x)在区间(-1,1)上是增加的,即 f(x)0在区间(-1,1)上恒成立, 因为 a0,(x2+b)20,所以 b-x20,
4、即 bx2在区间(-1,1)上恒成立,所以 bx2max. 因为 x(-1,1),所以 0x21. 所以 b 的取值范围为1,+). 10. 导学号 88184070如图所示,已知曲线 C1:y=x2与曲线 C2:y=-x2+2ax(a1)交于点 O,A,直线 x=t(01,即 10, 2 f(t)在区间(0,(2-)a上是增加的; 2 当(2-)a0,则( ) A.ef(2 015)f(2 016) B.ef(2 015)g(2 016),即,所以 e,即 ef(2 (2 015) e2 015 (2 016) e2 016 (2 015) e2 016 (2 016) e2 016 015
5、)f(2 016). 答案:A 2.已知函数 f(x)=x2-2x+1+aln x 有两个极值点 x1,x2,且 x1D.f(x2) 1 + 2ln2 4 1 - 2ln2 4 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-2+,因为函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,所以 x1,x2是方程 2x2- = 22- 2 + 2x+a=0的两根,又 x10,所以 g(t)在区间上是增加的,g(t)g,所以 f(x2) ( 1 2 ,1 )( 1 2) = 1 - 2ln2 4 . 1 - 2ln2 4 答案:D 3.已知 F(x)是一次函数,且F(x)dx=5,F(x)xdx=,则
6、 F(x)= . 1 0 1 0 17 6 解析:F(x)是一次函数, 设 F(x)=kx+b(k0). F(x)dx=(kx+b)dx 1 0 1 0 =+b, ( 2 2+ )|1 0= 2 +b=5. 2 又F(x)xdx=(kx+b)xdx 1 0 1 0 =(kx2+bx)dx 1 0 =( 3 3+ 2 2)|1 0 =. 3 + 2 . 3 + 2 = 17 6 由,得 k=4,b=3. F(x)=4x+3. 答案:4x+3 4.已知函数 f(x)= x3+ax+b(a,bR)在 x=2 处取得极小值- . 1 3 4 3 (1)求函数 f(x)的递增区间; (2)若 f(x)m
7、2+m+对 x-4,3恒成立,求实数 m 的取值范围. 10 3 解(1)由已知得 f(2)=- ,f(2)=0,又 f(x)=x2+a,所以 +2a+b=- ,4+a=0,解得 a=-4,b=4,则 f(x)= x3-4x+4. 4 3 8 3 4 3 1 3 令 f(x)=x2-40,得 x2,所以函数 f(x)的递增区间为(-,-2),(2,+). (2)f(-4)=- ,f(-2)=,f(2)=- ,f(3)=1,则当 x-4,3时,f(x)的最大值为,故要使 f(x)m2+m+对 x-4,3恒成立, 4 3 28 3 4 3 28 3 10 3 只要m2+m+,解得 m2 或 m-3
8、. 28 3 10 3 所以实数 m 的取值范围是(-,-32,+). 5.导学号 88184071已知函数 f(x)=,g(x)=aln x,aR. (1)设函数 h(x)=f(x)-g(x),当 h(x)存在最小值时,求其最小值 (a)的解析式; (2)对(1)中的 (a),证明:当 a(0,+)时,(a)1. 解(1)由题意知 h(x)=-aln x(x0), h(x)=, 1 2 = - 2 2 当 a0 时,令 h(x)=0,解得 x=4a2, 当 04a2时,h(x)0,h(x)在(4a2,+)上是增加的. x=4a2是 h(x)在(0,+)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是
9、h(x)的最小值点. 最小值 (a)=h(4a2)=2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a). 当 a0 时,h(x)=0,h(x)在(0,+)上是增加的,无最小值. - 2 2 综上所述,h(x)的最小值 (a)的解析式为 (a)=2a(1-ln 2a)(a0). (2)由(1)知 (a)=2a(1-ln 2a)=2a(1-ln 2-ln a), 则 (a)=-2(ln 2+ln a). 令 (a)=0,解得 a= . 1 2 当 00, 1 2 (a)在上是增加的; ( 0, 1 2) 当 a 时,(a)0, 1 2 (a)在上是减少的. ( 1 2, + ) (a)在 a= 处取得极大值 =1,也是最大值,故当 a(0,+)时,(a)1. 1 2 ( 1 2)