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1、专题 03 导数及其应用（选择题、填空题）专题 03 导数及其应用（选择题、填空题） 1【2019 年高考全国卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(，-1)处的切线方程为 AB10xy 2210xy CD2210xy 10xy 【答案】C 【解析】2cossin ,yxx 2cossin2, x y 则在点处的切线方程为，2sincosyxx( , 1) ( 1)2()yx 即2210xy 故选 C 【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素 养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是 否为切点，若是
2、切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程 2【2019 年高考全国卷文数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则eln x yaxx ABa=e，b=1e1ab ， CD， 1 e1ab ， 1 ea 1b 【答案】D 【解析】eln1, x yax 切线的斜率， 1 |e 12 x kya 1 ea 将代入，得.(1,1)2yxb21,1bb 故选 D 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属 于常考题型. 3 【2018 年高考全国卷文数】设函数.若为奇函数，则曲线在 32 ( )(1)f
3、 xxaxax( )f x( )yf x 点处的切线方程为(0,0) AB2yx yx CD2yx yx 【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，f(x)a - 1 = 0a = 1 所以，f(x) = x3+ xf(x) = 3x2+ 1 所以，f(0) = 1,f(0) = 0 所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.y = f(x)(0,0)y - f(0) = f(0)xy = x 故选 D. 【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程y = f(x)(x0,f(x0) 中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶
4、函数不存在奇 次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的f(x) 点斜式求得结果. 4【2017 年高考浙江】函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是( )yfx 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，0x 因此选 D 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在x 0 x 两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时， 0 xx 0 x 由导函数的正负，得出原函数的单调区间( )fx( )f x 5 【2018 年高
5、考全国卷文数】函数的图像大致为 2 ee xx fx x 【答案】B 【解析】为奇函数，舍去 A； 2 ee 0, xx xfxf xf x x ，舍去 D； 1 1ee0f 时，单 2 43 eeee2 2 e2 e , xxxx xx xx xx fx xx 2x 0fx( )f x 调递增，舍去 C. 因此选 B. 【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的 位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由 函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 6 【2018 年
6、高考全国卷文数】函数的图像大致为 42 2yxx 【答案】D 【解析】函数图象过定点，排除 A，B；(0,2) 令，则， 42 ( )2yf xxx 32 ( )422 (21)fxxxxx 由得，得或，此时函数单调递增，( )0fx 2 2 (21)0xx 2 2 x 2 0 2 x 由得，得或，此时函数单调递减，排除 C.( )0fx 2 2 (21)0xx 2 2 x 2 0 2 x 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单 调性是解决本题的关键. 7 【2017 年高考山东文数】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调e(
7、) x f xe2.71828( )f x 递增，则称函数具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是( )f x AB( )2 x f x 2 ( )f xx CD( )3 x f x ( )cosf xx 【答案】A 【解析】对于 A，在 R R 上单调递增，故具有性质； e e( )e2( ) 2 xxxx f x ( )2 x f x 对于 B，令，则， 2 e( )e xx f xx 2 ( )exg xx 2 ( )e2ee (2) xxx g xxxxx 当或时，当时，2x 0x ( )0g x20x ( )0g x 在，上单调递增，在上单调递减， 2 e( )e xx f xx
8、(, 2) (0,)( 2,0) 故不具有性质； 2 ( )f xx 对于 C，在 R R 上单调递减，故不具有性质； e e( )e3( ) 3 xxxx f x ( )3 x f x 对于 D，易知在定义域内有增有减，故不具有性质( )cosf xx( )cosf xx 故选 A. 【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力， 接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决 新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可 8【2019 年高考浙江】 已知， 函数 若函数, a bR 32 ,
9、0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x ( )yf xaxb 恰有 3 个零点，则 Aa0 Ca1，b1，b0 【答案】C 【解析】当x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x，= b 1 - a 则yf（x）axb最多有一个零点； 当x0 时，yf（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，= 1 3 - 1 2 = 1 3 - 1 2 ， 2 (1)yxax 当a+10，即a1 时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增， 则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意； 当a+10，即a1 时，令y0 得x(a+1，+） ，此时
10、函数单调递增， 令y0 得x0，a+1） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点. 根据题意，函数yf（x）axb恰有 3 个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点， 在0，+）上有 2 个零点， 如图： 0 且， b 1 - a - b0 1 3(a + 1) 3 - 1 2(a + 1)(a + 1) 2 - b0 解得b0，1a0，b（a+1）3， - 1 6 则a1，b0. 故选 C 【名师点睛】 本题考查函数与方程， 导数的应用.当x0 时，yf（x） axbxaxb （1a）xb 最多有一个零点；当x0 时，yf（x）axbx3（a+1）x2b，利用导数研究函数的单调
11、性，= 1 3 - 1 2 根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解 9 【2019 年高考全国卷文数】曲线在点处的切线方程为_ 2 3()exyxx(0 )0， 【答案】30xy 【解析】 22 3(21)e3()e3(31)e , xxx yxxxxx 所以切线的斜率， 0 |3 x ky 则曲线在点处的切线方程为，即 2 3()exyxx(0,0)3yx30xy 【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错 误求导要“慢” ，计算要准，是解答此类问题的基本要求 10【2019 年高考天津文数】曲线在点处的切线方程为_.cos 2
12、x yx(0,1) 【答案】220xy 【解析】， 1 sin 2 yx ， 0 1 |sin0 2 1 2 x y 故所求的切线方程为，即. 1 1 2 yx 220xy 【名师点睛】曲线切线方程的求法： （1）以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤： 求出函数f(x)的导数f(x)； 求切线的斜率f(x0)； 写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简 （2） 如果已知点(x1，y1)不在曲线上， 则设出切点(x0，y0)， 解方程组得切点(x0，y0)， 00 10 0 10 () () yf x yy fx xx 进而确定切线方程 11 【2018 年高考天
13、津文数】 已知函数f(x)=exlnx，f(x)为f(x)的导函数， 则f（1） 的值为_ 【答案】e 【解析】由函数的解析式可得，f(x) = ex lnx + ex 1 x = ex(lnx + 1 x) 则.f(1) = e1(ln1 + 1 1) = e 即的值为 e.f(1) 【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 12 【2018 年高考全国卷文数】曲线在点处的切线方程为_2lnyx(1, 0) 【答案】y=2x2 【解析】由，得.y = f(x) = 2lnxf(x) = 2 x 则曲线在点处的切线的斜率为，
14、y = 2lnx(1,0)k = f(1) = 2 则所求切线方程为，即.y - 0 = 2(x - 1)y = 2x - 2 【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写 出切线的点斜式方程；化简整理. 13【2017 年高考全国卷文数】曲线在点（1，2）处的切线方程为_ 2 1 yx x 【答案】1yx 【解析】设，则，所以，( )yf x 2 1 ( )2fxx x (1)2 11 f 所以曲线在点处的切线方程为，即 2 1 yx x (1,2)21 (1)yx 1yx 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求
15、出斜率，其 求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是),( 00 yxP)(xfy P 000 ()()yyfxxx 若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线)(xfy )(,( 00 xfxPy 方程为 0 xx 14 【2017 年高考天津文数】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则laR ( )lnf xaxx(1)f 在y轴上的截距为_ 【答案】1 【解析】由题可得，则切点为，(1)fa(1, )a 因为，所以切线l的斜率为， 1 ( )fxa x (1)1fa 切线l的方程为，(1)(1)yaax 令可得，0x 1y 故 在轴上的截距为 l y
16、 1 【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意( )f x 0 x 0 ()fx 义是曲线在点处的切线的斜率，切线方程为解题时应注( )yf x 00 (,)P xy 000 ()()yyfxxx 意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方PP 程组进行求解 15 【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直xOy 4 (0)yxx x 线的距离的最小值是 .0xy 【答案】4 【解析】由，得， 4 (0)yxx x 2 4 1y x 设斜率为的直线与曲线切于，1 4 (0)yxx x
17、00 0 4 (,)x x x 由得（舍去） ， 2 0 4 11 x 0 2x 0 2x 曲线上，点到直线的距离最小， 4 (0)yxx x ( 2,3 2)P0xy 最小值为. 22 23 2 4 11 故答案为4 【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取 导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 16 【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过xOy 点（-e，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点A的坐标是 . 【答案】(e, 1) 【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得
18、到横坐标的值，可得切点坐标. 设点，则. 00 ,A xy 00 lnyx 又， 1 y x 当时， 0 xx 0 1 y x 则曲线在点A处的切线为，lnyx 00 0 1 ()yyxx x 即， 0 0 ln1 x yx x 将点代入，得，e, 1 0 0 e 1 ln1x x 即， 00 lnexx 考察函数， lnH xxx 当时，当时，0,1x 0H x 1,x 0H x 且， ln1Hxx 当时，单调递增，1x 0,HxH x 注意到， eeH 故存在唯一的实数根， 00 lnexx 0 ex 此时， 0 1y 故点的坐标为.Ae,1 【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
19、 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切 线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 17 【2018 年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则f(x) = 2x3- ax2+ 1(a R)(0, + )f(x) 在上的最大值与最小值的和为_ - 1,1 【答案】3 【解析】由得或， 2 620fxxax0x 3 a x 因为函数在上有且仅有一个零点且， f x0, 0 =1f 所以，0,0 33 aa f 因此 32 210, 33 aa a 解
20、得.3a 从而函数在上单调递增，在上单调递减， f x1,00,1 所以 max 0 ,f xf ， min min1 ,11f xfff 则 maxmin f xf x 0 +11 43.ff 故答案为.3 【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件从图 象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向 趋势，分析函数的单调性、周期性等 18【2017 年高考江苏】已知函数，其中 e 是自然对数的底数若 3 1 ( )2e e x x f xxx(1)f a ，则实数的取值范围是 2 (2)0fa a 【答案】
21、1 1, 2 【解析】因为，所以函数是奇函数， 3 1 ()2e( ) e x x fxxfxx ( )f x 因为， 22 ( )32ee322 ee0 xxxx f xxx 所以函数在上单调递增，( )f xR 又，即， 2 1)02()(ffaa 2 ()2(1aaff 所以，即， 2 21aa 2 120aa 解得， 1 1 2 a 故实数的取值范围为 a 1 1, 2 【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后( ( )( ( )f g xf h x 根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在( )f xf( )g x( )h x 函数的定义域内( )f x