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1、考点 02 命题及其关系、充分条件与必要条件考点 02 命题及其关系、充分条件与必要条件 1、命题“若x0，则x20”的否命题是_命题(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】命题“若x0，则x20”的否命题是“若x0，则x20” ，是假命题也可以由逆命题为“若x20， 则x0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题 2、给出下列三个命题： “ab”是“3a3b”的充分不必要条件； “”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故是假命题 ； 若 ，则，但 coscos，充分性不得证，若，2，cos”是“cosb，则a2b2”的否命题； “若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题； “若x20
2、， 得 xa， 即 B(a， ) 若 “xA” 是 “xB” 的充分条件，则 AB，所以 a3，故实数 a 的取值范围为(，3 7、给定下列四个命题： “x”是“sin x ”的充分不必要条件； 6 1 2 若“pq”为真，则“pq”为真； 若a30”是“sin A ”的_条件 1 2 【答案】必要不充分 【解析】在ABC中，A300 ， 1 2 而 sin A 3030”是“sin A ”的必要不充分条件 1 2 9、下列命题的否命题为假命题的个数是_ p：存在xR，x22x20； p：有的三角形是正三角形； p：所有能被 3 整除的整数为奇数； p：每一个四边形的四个顶点共圆 【答案】1
3、【解析】p的否命题：任意xR，x22x20，为真命题； p的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题； p的否命题：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数，0 是能被 3 整除的非奇数，该命题为真命题； p的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题 10、已知2，命题p：关于x的方程x2xab0 没有实数根命题q：a，b0，|a|b|a| 3 命题p是命题q的_条件 【答案】充分不必要 【解析】方程x2xab0 没有实根，|a| 24ab24 cosa，b|a|a|a|b| 222cosa，b ， 1 2 又0a，b，0a，b0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围； (2)是否存
4、在实数p，使“4xp0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围 【答案】(1) p4 (2) 不存在实数p满足题设要求 【解析】(1)当x2 或x0， 由 4xp0” p 4 p4 时，“4xp0”的充分条件 (2)不存在实数p满足题设要求 13、已知集合Ay|yx2x1，x ，2，Bx|xm21；命题p：xA，命题q：xB，并且命 3 2 3 4 题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围 【答案】(， ，) 3 4 3 4 【解析】化简集合A， 由yx2x1(x )2， 3 2 3 4 7 16 x ，2，ymin，ymax2. 3 4 7 16 y，2，Ay|y2 7 16 7 16 化
5、简集合B，由xm21， x1m2，Bx|x1m2 命题p是命题q的充分条件，AB. 1m2， 7 16 m 或m . 3 4 3 4 实数m的取值范围是(， ，) 3 4 3 4 14、在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，则am，am2，am1成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题； (2)判断逆命题是否为真？并给出证明 【答案】(1) 在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am2，am1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差 数列 (2) 此时逆命题为真 【解析】(1)逆命题 ： 在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am2，am1成等差数列，则Sm
6、，Sm2，Sm1 成等差数列 (2)当q1 时，逆命题为假，当q 时，逆命题为真，证明如下： 1 2 数列an的首项为a1，公比为q. 由题意知：2am2amam1， 即 2a1qm1a1qm1a1qm. a10，q0，2q2q10，q1 或q . 1 2 当q1 时，有Smma1， Sm2(m2)a1，Sm1(m1)a1. 显然：2Sm2SmSm1，此时逆命题为假 当q 时，有 2Sm2 1 2 2a111 2 m2 11 2 a11( )m2， 4 3 1 2 SmSm1 a111 2 m 11 2 a111 2 m1 11 2 a11( )m2， 4 3 1 2 2Sm2SmSm1，此时逆命题为真 15、设集合 Ax|x22x30，解得 10. 因为“xA”是“xB”的必要不充分条件， 所以 BA，即(1，3)， ( 2 m1，2) 所以1，解得 0a，得Bx|a2，即a 时，Ax|22a，即a1 时，此时集合Nx|2a ； 2a 1 4， a 2， ) 9 4 当a2a，即a1 时，此时集合Nx|ax2a，则解得a . a 1 4， 2a 2，) 1 4 综上所述，实数a的取值范围为(， )( ，). 1 4 9 4