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1、考点 13变化率与导数、导数的运算考点 13变化率与导数、导数的运算 1（江苏省南通市2019届高三四模） 给出下列三个函数 ： 1 y x ； sinyx； exy ， 则直线 1 2 yxb (bR)不能作为函数_的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号） 【答案】 【解析】 【分析】 分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数 【详解】 直线 1 2 yxb的斜率为 k 1 2 ， 对于 1 y x ，求导得 ： 2 1 y x ，对于任意 x0， 2 1 x 1 2 无解，所以，直线 1 2 yxb不能作为切线 ； 对于 sinyx ，求导得： 1 cos
2、2 yx有解，可得满足题意； 对于 x ye，求导得： 1 2 x ye有解，可得满足题意； 故答案为： 2 （江苏省扬州中学 2019 届高三 4 月考试）已知函数 sin(),2,2() 222 3 sin(),2,2() 222 xxkkkz y xxkkkz 的图象与直线(2)(0)ym xm恰有四个公共点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 33 (,)C xy， 44 (,)D xy，其中 1334 xxxx，则 44 (2)tanxx=_. 【答案】1 【解析】 函数的图象如下图所示：直线(2)(0)ym xm过定点( 2,0)， 当 3 , 22 x 时，( )
3、cosf xx ，( )sinfxx ，由图象可知切点坐标为 44 , cosxx， 切线方程为： 444 cossinyxxxx，又因为切线过点( 2,0)，则有 444 cossin2xxx ，即 44 (2)tan1.xx 3 （江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟）在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线与曲线相切于点，则的值为_ 【答案】 【解析】 ，切线的斜率为 k3，即=3， 又切点同时在直线和曲线上，有： ，所以4. 故答案为 4 4 （江苏省如皋市 2019 届高三教学质量调研三）已知 ， 为曲线 ：上在 轴两侧的点，过 ， 分别作曲线
4、的切线，则两条切线与 轴围成的三角形面积的最小值为_ 【答案】 【解析】 因为 P，Q 为曲线 ：上在 轴两侧的点，设，且，又因为曲线 ： 在点的切线斜率为，所以曲线在 P，Q 两点处的切线分别为和 ，与 x 轴交点分别为，直线 和 的交点为，所求 图形面积，即，令 ， 假设时，才能取最小值， 令， 则， 当 ，即时，同理，当时， ， 所以当且时，最小， 解得， ， 5 已知定义在R上的函数 ( )f x的导函数为( )fx ， 满足( )( )fxf x， 且(2)f x为偶函数，(4)2f， 则不等式( )2 x f xe的解集为_. 【答案】(0,) 【解析】 (2)yf x为偶函数，(
5、2)yf x的图象关于0x 对称， ( )yf x的图像关于2x 对称，(4)(0)ff.又(4)2f，(0)2f. 设 ( ) ( )() x e f x g xxR，则 2 ( )( )( )( ) ( ) xx x x fx ef x efxf x g x e e . 又( )( )fxf x，( )( )0fxf x，( )0g x ，( )yg x在R上单调递减.( )2 x f xe， ( ) 2 x f x e ，即( )2g x .又 0 (0) (0)2 f g e ，( )(0)g xg，0x . 6（江苏省徐州市 2018-2019 学年高三考前模拟检测） 已知函数 ,0
6、, 1 ,0, x xex f x f xx 1g xk x， 若方程 0f xg x 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_ 【答案】 11 , 2ee 【解析】 当0x 时， 1 x fxxe， 当1x 时， 0fx ，当10x 时， 0fx ， 又当0x 时， 1f xf x，所以根据周期为 1 可得0x 时 f x的图像，故 f x的图像如图所示 ： 函数 1g xk x的图像恒过1,0，因为 f x与 g x的图像有两个不同的交点， 故 ABBC kkk， 又 1 0,A e ，故 1 AB k e ， 1 2 AB k e ， 所以 11 2 k ee ，填 11 , 2ee .
7、 7 （江苏省南通市 2019 届高三适应性考试）已知函数( )1 x f xe，若存在实数, ()a b ab使得 ( )( )f af b，则2ab的最大值为_. 【答案】 32 ln 27 【解析】 作出函数( )1 x f xe图像如下： 由题意，令, a b为方程( )f xm的两个根，由图像易得01m； 由1 x em得 1 x em ，解得ln(1)xm或ln(1)xm， 因为ab，所以ln(1)bm，ln(1)am， 因此 2 2ln(1)2ln(1)ln(1)(1)abmmmm， 令 232 ( )(1)(1)1g mmmmmm ，01m， 则 2 ( )321(31)(1)
8、g mmmmm ， 因为01m，所以由( )0g m 得 1 0 3 m；由( )0g m 得 1 1 3 m， 即函数( )g m在 1 0, 3 上单调递增；在 1 ,1 3 上单调递减； 所以 2 max 11132 ( )11 33327 g mg ， 因此2ab的最大值为 32 ln 27 . 故答案为 32 ln 27 8 （江苏省扬州中学 2019 届高三 4 月考试）已知函数 3 1,0 ( ) 2 ,0 axx f x xaxxx 的图象恰好经过三个 象限，则实数a的取值范围_. 【答案】0a 或2a 【解析】 （1）当0a 时， ( )f x在(,0 上单调递减，又(0)1
9、f ，所以函数 ( )f x的图象经过第二、三象限， 当0x 时， 3 3 (1)2,2 ( ) (1)2,02 xaxx f x xaxx ， 所以 2 2 3(1),2 ( ) 3(1),02 xax fx xax ， 若1a时，( )0fx 恒成立，又当0x 时，( )2f x ，所以函数( )f x图象在0x 时，经过第一 象限，符合题意； 若10a 时，( )0fx 在2,)上恒成立，当02x时，令( )0fx ，解 11 33 a x ，所 以 ( )f x在 1 0, 3 a 上单调递减，在 1,2 3 a 上单调递增， 又 111111 (1)22 10 333333 aaaa
10、aa fa 所以函数 ( )f x图象在 0x 时，经过第一象限，符合题意； （2）当0a 时， ( )f x的图象在(,0) 上，只经过第三象限，( )0fx 在(0,)上恒成立，所以 ( )f x 的图象在(0,)上，只经过第一象限，故不符合题意； （3）当0a 时， ( )f x在(,0) 上单调递增，故 ( )f x的图象在(,0) 上只经过第三象限，所以 ( )f x在 (0,)上的最小值 min( ) 0fx ， 当02x时，令( )0fx ，解得 1 3 a x ， 若 1 2 3 a 时，即11a 时， ( )f x在(0,)上的最小值为 111 2 1 333 aaa f ，
11、 令 111 2 102211 333 aaa faa . 若 1 211 3 a a 时，则 ( )f x在0 2x时，单调递减， 当2x 时，令( )0fx ，解得 1 3 a x ， 若 1 21113 3 a a ， ( )f x在(2,)上单调递增，故( )f x在(0,)上的最小值为(2)82fa ，令8204aa，所以1113a； 若 1 213 3 a a ， ( )f x在 1 2, 3 a 上单调递减，在 1, 3 a 上单调递增，故 ( )f x在 (0,)上的最小值为 12(1)1 2 333 aaa f ， 显然 2(1)1 20 33 aa ，故13a ； 结上所述
12、：0a 或2a . 9已知函数 ( )f x对于任意实数x都有()( )fxf x ，且当BC AP 时，( )sin x f xex，若实数a 满足(log 2)(1) a ff，则a的取值范围是_ 【答案】 1 ,2 2 【解析】 由题得，当 x0 时， cos x fxex， 因为 x0，所以 0 1,cos0 xx eeex ， 所以函数在0,+ )上单调递增， 因为 fxf x，所以函数是偶函数， 所以函数在,0)（上单调递减， 因为 2 log1faf， 所以| 2 log a|1，所以-1 2 log a1， 所以 1 2 2 a. 故答案为： 1 ,2 2 10（江苏省南京市、
13、 盐城市2019届高三第二次模拟考试） 已知函数设， 且函数的图象经过四个象限，则实数 的取值范围为_. 【答案】 【解析】 当 x0 时，f(x)-g(x)=|x+3-kx-1,须使 f(x)-g(x)过第三象限， 所以 f(-3)-g(-3)0，k = 0 时，求证：函数有两个不同的零点； （3）若，记函数，若，使，求k的取值 范围 【答案】 （1）0；（2）详见解析；（3）或 【解析】 （1）因为，所以 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以为的极值点 因为，所以函数的极值点为 因为函数与有相同的极值点，所以 所以 （2）由题意，所以 因为，所以 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以为的极值点 因为，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 取满足且 则 因为且，所以 所以，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 综上，函数有两个不同的零点 （3）时， 由，使，则有 由于 当时，在上单调递减 所以 即，得 当时，在上单调递增 所以 即，得 当时， 在上，在上单调递减； 在上，在上单调递增； 所以 即（*） 易知在上单调递减 故，而，所以不等式（*）无解 综上，实数 的取值范围为或