《2019版数学人教A版必修1课件：1.3.1 第1课时 函数的单调性 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教A版必修1课件：1.3.1 第1课时 函数的单调性 .pptx（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3 函数的基本性质,1.3.1 单调性与最大(小)值,第1课时 函数的单调性,1.理解增函数和减函数的定义,明确定义中“任意”两字的重要性,以及图象的特征. 2.知道函数单调性的含义,能够利用定义证明函数的单调性. 3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.,1.增函数和减函数,【做一做1-1】 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内是减函数,x1,x2(a,b),且x1f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.以上都有可能 答案:B 【做一做1-2】已知0,3是函数f(x)定义域内的一个区间,若f(1)f(2),则函数f(x)在区间0,3上( ) A.是
2、增函数 B.是减函数 C.不是增函数就是减函数 D.增减性不能确定 解析:虽然1,20,3,12,且f(1)f(2),但是1和2是区间0,3内的两个特殊值,不是区间0,3内的任意值,所以f(x)在0,3上的增减性不能确定. 答案:D,2.单调性 (1)定义:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. (2)图象特征:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,则函数y=f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的.,名师点拨基本初等函数的单调区间如下表所示:,【做一做2】 已知函数f(x)的图象如图所示,
3、则( ) A.函数f(x)在区间-1,2上是增函数 B.函数f(x)在区间-1,2上是减函数 C.函数f(x)在区间-1,4上是减函数 D.函数f(x)在区间2,4上是增函数 答案:A,对函数单调性的理解 剖析函数单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征,它反映了函数图象的变化趋势(当自变量增大时,函数值是增大还是减小,图象是上升还是下降);函数y=f(x)在区间D上是增函数(减函数),等价于对于D中任意的两个自变量x1,x2,且x1f(x2);其中“任意”二字是关键,不能用具体的两个自,函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质,因此它是一个“局部”的性质,并且在考查函数的单调性时,必须
4、先看函数的定义域.如果一个函数有多个单调增(减)区间,这些增(减)区间应用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”).,和(0,+),但不能写成(-,0)(0,+). 因为函数的单调性是反映函数图象变化趋势的,所以在某一点处没法讨论函数的单调性,比如函数y=x2的单调递增区间可以写成开区间(0,+),也可以写成0,+),但是若定义域中不包含这个点,则必须使用开区间表示.,题型一,题型二,题型三,题型四,利用图象确定函数的单调区间 【例1】 已知函数f(x)=-x2+2|x|+3. (1)用分段函数的形式表示f(x); (2)画出f(x)的图象; (3)根据图象写出
5、f(x)的单调区间. 分析:(1)需要讨论x0和x0两种情况;(2)利用画分段函数图象的步骤画出;(3)借助函数图象写出单调区间. 解:(1)当x0时,f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4; 当x0时,f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)函数f(x)的图象如图所示. (3)函数f(x)的图象在区间(-,-1和0,1上是上升的,在区间(-1,0)和(1,+)内是下降的,所以f(x)的单调递增区间是(-,-1,0,1,单调递减区间是-1,0,1,+).,2.对于含有绝对值的函数,往往要转化成分段函数,画出其图象,借助图象的变化趋势分析函数
6、的单调性(区间).,题型一,题型二,题型三,题型四,可知f(x)在区间(-,0和1,+)上都是增函数,在(0,1)上是减函数. 答案:(-,0,1,+) (0,1),题型一,题型二,题型三,题型四,证明函数的单调性,分析:在区间(0,1)内任取x1,x2,且x1f(x2)即可. 证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1x2,00. f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思证明函数单调性的常用方法是定义法,利用定义法判断函数单调性的步骤为:,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 用单调性的定义证明:函数f(x)=2x2+
7、4x在区间 (-,-1上是减函数.,x10,即f(x1)f(x2), f(x)在区间(-,-1上是减函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,函数单调性的应用 【例3】 已知函数f(x)的定义域为-2,2,且f(x)在区间-2,2上是增函数,f(1-m)f(m),求实数m的取值范围. 分析:利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,即脱去符号f,转化为关于m的一元一次不等式组,解出m的取值范围. 解:因为f(x)在区间-2,2上单调递增,且f(1-m)f(m),题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对
8、应的自变量转化到同一个单调区间上.需要注意的是,不要忘记函数的定义域. 2.(1)若f(x)在区间D上是增函数,x1,x2是区间D内的任意两个实数,则f(x1)f(x2)x1x2;f(x1)f(x2)x1x2.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知函数y=f(x)是区间(-,+)内的增函数,且f(2x-3)f(5x+6),求实数x的取值范围. 解:由题意知2x-35x+6, 解得x-3. 故实数x的取值范围是(-,-3).,题型一,题型二,题型三,题型四,易混易错题 易错点 对“单调区间是”和“在区间上单调”理解错误 【例4】 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2. (1
9、)若函数f(x)的单调递减区间是(-,4,则实数a的值(或取值范围)是 ; (2)若函数f(x)在区间(-,4上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是 . 错解(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a.由于函数f(x)的单调递减区间是(-,4,因此1-a4,即a-3.故应填(-,-3. (2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a.由于函数f(x)在区间 (-,4上单调递减,因此1-a=4,即a=-3.故应填-3.,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减,则指此区间是相应单调递减区间的子集.错解颠倒了这两种说法的含义,从而导致出错. 正解:(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-,4,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故应填-3. (2)因为函数f(x)在区间(-,4上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a, 所以1-a4,即a-3.故应填(-,-3.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 已知函数f(x)=|x+a|在区间(-,1上单调递减,则a的取值范围是( ) A.a1 B.0a1 C.a-1 D.-1a0 f(x)的递减区间为(-,-a. 由题意,(-,1(-,-a, -a1,a-1. 答案:C,