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1、-1- 2.1 条件概率与独立事件 首页 首页 一、条件概率 首页 首页 首页 二、事件的相互独立性 (1)定义:一般地,对两个事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互 独立. (2)性质: 若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). 若事件A与B相互独立,那么A与 也相互独立. 如果A1,A2,An相互独立,则有P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An). 特别提醒相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互不 影响;互斥事件是指同一次试验中,两个事件不会同时发生. 首页 【做一做2】 (1)某机械零件加工由2道工序组成,第1道工序的废 品率为a,第2道工序的废
2、品率为b,假定这2道工序出废品的概率彼 此无关,那么产品的合格率是 ( ) A.ab-a-b+1B.1-a-b C.1-abD.1-2ab (2)若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)= ,则P(EF)的值等于( ) 首页 解析:(1)由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关, 故产品的合格率为P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1. (2)EF代表E与F同时发生, 故P(EF)=P(E)P(F)= . 答案:(1)A (2)B 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)条件概率一定不等于它的非条件概率. ( ) (2)相互独立事件
3、就是互斥事件. ( ) (3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. ( ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). ( ) (5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表 示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) 首页 探究一探究二思维辨析 求条件概率求条件概率 【例1】 甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录, 知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时 下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多
4、少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? 思路分析:设A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则根据题意有 P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12.问题(1)为求P(A|B),(2)为求 P(B|A). 解:设A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟1.条件概率的判断 题目中出现已知“在前提下(条件下)”等字眼时,一般为求条 件概率.题目中没有出现上述明显字眼,但事件B的发生受事件A发 生的影响时,也是条件概率. 2.条件概率的求法 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练1(1)如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的
5、圆的内接正方 形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形 EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)= . (2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶 数”,事件B:“取到的2个数均为奇数”,则P(B|A)= . 首页 探究一探究二思维辨析 首页 探究一探究二思维辨析 求相互独立事件的概率求相互独立事件的概率 【例2】某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、 乙、丙三人跑100 m(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率 分别为 ,若对这三名短跑运动员跑100 m的成绩进行一次检 测,求
6、(1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)出现几人合格的概率最大? 思路分析:若用A,B,C表示甲、乙、丙三人跑100米的成绩合格,则 事件A,B,C相互独立. 首页 探究一探究二思维辨析 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手 时,可从其对立事件入手计算. 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练2甲、乙同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求: (1)甲、乙都未击中的概率; (2)敌机被击
7、中的概率. 首页 探究一探究二思维辨析 因混淆相互独立事件和互斥事件与对立事件而致误 【典例】 桌子上放着一副扑克牌中的10张,其中1张红心,4张黑 桃,5张梅花,从中任摸一张,放回后,再摸一张,求第一次摸出红心且 第二次摸出黑桃的概率. 易错分析:本题易出现按互斥事件的概率计算公式计算的错误, 其实第一次摸出红心,放回后再摸第二次.表明A,B两事件相互独立. 解:设A=第一次摸出红心,B=第二次摸出黑桃. 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻. 首页 探究一探究二思维辨析 跟踪训练跟踪训练一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的. 已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男
8、孩的概率是多少? 解:法一:一个家庭的两个小孩只有4种可能:两个都是男孩,第 一个是男孩,第二个是女孩,第一个是女孩,第二个是男孩,两个 都是女孩.由题意知这4个事件是等可能的,设基本事件空间为 ,A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”,则=(男,男),(男, 女),(女,男),(女,女),A=(男,女),(女,男),(女,女),B=(男,男),(男, 女),(女,男),AB=(男,女),(女,男). 首页 12345 1.袋内有3个白球和2个黑球,不放回地从中摸球,用A表示“第一次摸 得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是( ) A.互斥事件B.相互独立事件 C.对立事件D
9、.不相互独立事件 解析:根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B 不是相互独立事件. 答案:D 首页 12345 2.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概 率为0.3,则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A.0.3B.0.5 C.0.6 D.1 解析:设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用 寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3. 因为BA,所以P(AB)=P(B)=0.3, 答案:B 首页 12345 首页 12345 首页 12345 5.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题 6个,判断题4个,甲、乙两人不放回地依次各抽1题,在甲抽到选择题 的前提下,乙抽到判断题的概率是多少? 解:设甲抽到选择题为事件A,乙抽到判断题为事件B,