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1、-1- 4 反证法反证法 首页 首页 一、反证法的定义 1.先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与 定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与 假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题 的结论成立,这种证明方法叫作反证法. 2.反证法是一种间接证明的方法. 二、反证法的证明步骤 1.作出否定结论的假设; 2.进行推理,导出矛盾; 3.否定假设,肯定结论. 首页 名师点拨使用反证法证明数学问题的注意事项 (1)用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论 正确.否定结论时,对结论的反面出现的多种可能,要一一否定,不能 遗漏,缺少任何一种可
2、能,证明都是不完整的. (2)反证法必须从否定的结论出发进行推理,且必须根据这一条件 进行论证.仅否定结论,不从结论的反面出发进行的论证不是反证 法.故反证法也叫归谬法. (3)用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾, 这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与公理、定理、 定义,或是已证明了的结论矛盾,或是与公认的简单事实矛盾,但推 出的矛盾必须是明显的. 首页 【做一做1】 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不 大于60”时,假设正确的是( ) A.假设三个内角都不大于60 B.假设三个内角都大于60 C.假设三个内角至多有一个大于60 D.假设三个内角至多有两
3、个大于60 解析:根据反证法的定义,假设应使命题的反面成立,而“三角形的 内角中至少有一个不大于60”的反面是“三个内角都大于60”. 答案:B 首页 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定. ( ) (2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾. ( ) (3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时, 论证一种即可. ( ) 答案:(1) (2) (3) 首页 探究一探究二思维辨析 用反证法证明否定性命题用反证法证明否定性命题 【例1】 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差
4、数列,求证: 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟1.对于结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语 的命题,此类命题的反面比较具体,适合用反证法证明. 2.在证明否定性命题时,先通过假设原命题的反面成立,将原来的 否定性命题转化为肯定性命题,再利用所学知识,找出矛盾,从而说 明假设不成立,命题得证. 首页 探究一探究二思维辨析 首页 探究一探究二思维辨析 用反证法证明用反证法证明“至多至多”“至少至少”命题命题 思路分析:因为直接从条件推证,方向不明确,过程不可推测,所以 可以采用反证法. 证明:假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0, 则a+b+c0. =(x2-2x)+(y
5、2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-30, 这与a+b+c0相矛盾,a,b,c中至少有一个大于0. 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟1.对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题,若直接 从条件推证,则解题方向不明确,过程不可推测,不易证明,故可以考 虑用反证法证明. 2.常见的“结论词”与“反设词”如下表所示: 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练2证明关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0,当a 或a-1时,至少有一个方程有实数根. 首页 探究一探究二思维辨析 否定结论不全面而致误 首
6、页 探究一探究二思维辨析 首页 探究一探究二思维辨析 纠错心得用反证法证题时,如果要证明的结论反面情况只有一种, 那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则 必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立. 首页 探究一探究二思维辨析 跟踪训练跟踪训练求证:两条相交直线有且只有一个交点. 证明:假设结论不成立,即有两种可能:无交点或至少有两个交点. 设两条直线为a,b. (1)若a,b无交点,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾; (2)若a,b至少有两个交点A和B,这样同时经过A,B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 综上所述,两条相交直线有且只有一个交点. 首页 1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为 ( ) A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数 答案:D 2.命题“关于x的方程ax+b=0(a0)有唯一解”的结论的否定是( ) A.无解 B.有两解 C.至少有两解 D.无解或至少有两解 解析:命题的否定是否定命题的结论,“有唯一解”的否定是“至少有 两解或无解”. 答案:D 首页 答案:D 4.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时应假设为 . 解析:p且q的否定为非p或非q. 答案:x=a或x=b 首页