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1、-1- 第第3课时课时 圆锥曲线的方程、性质圆锥曲线的方程、性质 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 圆锥曲线几何性质的异同: 1.它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形. 2.顶点个数不同:椭圆有四个顶点,所以由一个顶点坐标不能确定 焦点的位置;双曲线有两个顶点,且顶点与焦点在同一个坐标轴上; 抛物线有一个顶点. 3.焦点个数不同:椭圆和双曲线有两个焦点,抛物线只有一个焦点. 4.离心率的取值范围不同:椭圆的离心率01,抛物线的离心率e=1. 5.椭圆是封闭曲线,双曲线和抛物线都是非封闭曲线,由于
2、抛物线 没有渐近线,因此在画抛物线时,切忌将其画成双曲线. 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)椭圆中过焦点的最短弦长为 . ( ) (2)抛物线的通径是焦点弦的最小值,为2p. ( ) (3)设AB为抛物线的焦点弦,A,B在准线上的射影分别是A1,B1,若P 为A1B1的中点,则PAPB. ( ) 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 专题一 圆锥曲线的统一定义与标准方程 【例1】 F1,F2是椭圆 (ab0)的两焦点,P是椭圆上任一 点,从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的 轨
3、迹为( ) A.圆 B.椭圆C.双曲线D.抛物线 解析:延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,如图所示,则APF1是 等腰三角形,|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a. O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ, |OQ|= |AF2|=a. Q点的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆. 答案:A 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 【例2】 已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦 点.P为双曲线上一点,且F1PF2=60, ,求双曲线的 标准方程. 思维点拨:要求双曲线的标准方程,可设出方程 .关键是 求a,b的
4、值,在PF1F2中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程 组,从而求出a,b的值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=c. 在PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60 =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|(1-cos 60), 即4c2=c2+|PF1|PF2|. 即|PF1|PF2|=48. 由,得c2=16,所以c=4,则a=2.所以b2=c2-a2=12. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解
5、题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如:(1)在求轨迹时,若 所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所 求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三 角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 思维点拨:要求 的值,可考虑利用椭圆的定义和PF1F2为直 角三角形的条件,求出|PF1|与|PF2|的值.但RtPF1F2的直角顶点不 确定,故需要分类讨论. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)若F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, 即20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,
6、解得|PF1|=4,|PF2|=2, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 【例3】 抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的 两个动点,且满足AFB=120,过弦AB的中点M作抛物线准线 的垂线MN,垂足为N,求 的最大值. 思维点拨:弦AB的长度可在AFB中由余弦定理表示,而|MN|的 长度须由抛物线的定义进行转化. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:设|AF|=a,|BF|=b,作AQ垂直于准线于点Q,作BP垂直于准线于 点P, 由抛物线定义知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|, 在AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 120
7、=a2+b2+ab=(a+b)2-ab. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练2已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上 一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的 最小值是( ) 答案:C 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 专题二 圆锥曲线的几何性质 【例4】 已知椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为
8、线段PF2的 中点,则该椭圆的离心率为( ) 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解析:如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点,连 接OM. M,O分别是PF2,F1F2的中点, MOPF1,且|PF1|=2|MO|=2b. OMPF2,PF1PF2. 答案:D 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲 线的方程研究其几何性质;已知圆锥曲线的性质求其方程.重在考 查基础知识,其中对离心率的考查是重点. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练3已知双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线的离心 率为( ) 答
9、案:D 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 思维点拨:利用椭圆的定义及余弦定理,转化为有关a,c的不等式, 即可求解. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟求圆锥曲线离心率及其取值范围的方法: (1)定义法:寻求a,b,c之间的大小关系,代入可求. (2)方程法:依条件列出含a,c的齐次方程,再转化为关于e的方程求 解. (3)求取值范围时,关键是得到不等关系,转化为关于e的不等式,求 解常与基本不等式相结合.注意椭圆中01. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练4已知过双曲线的一个焦点的直线垂直于双曲线的一 条渐近线
10、,且与双曲线的两支都相交,则该双曲线离心率的取值范 围为 . 设直线与双曲线的交点为(x1,y1),(x2,y2), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点一:圆锥曲线的标准方程 答案:B 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解析:设双曲线半焦距为c(c0), 答案:B 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解析:(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2, 即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1. 又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0, 解得-10),圆的方程为x2+y2=R2. 故p=4
11、,即C的焦点到准线的距离是4. 答案:B 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 6.(2017课标高考)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一 点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= . 解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0). 答案:6 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点三:圆锥曲线的离心率问题 答案:A 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 答案:A 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 9.(2016课标乙高考)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆 中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为( ) 解析:设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l 答案:B 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N 两点.若MAN=60,则C的离心率为 . 解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则 E的离心率是 . 解析:由双曲线和矩形的对称性可知ABx轴,不妨设A点的横坐标 答案:2