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1、第十第十二二章章 概率概率 12.112.1 随机事件的概率 随机事件的概率 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测23415 1.事件的分类 可能发生也可能不发生 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测23415 2.频率与概率 (1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是 否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 , 称事件A出现的比例 为事件A出现的 . (2)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的 频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用 来估计概率P(A). 频数 频率 频率fn(A) 知识梳理 -5- 知识梳理双基自
2、测23415 3.事件的关系与运算 发生 一定发生 BA (或AB) AB A=B 当且仅当事件A发生或事件B发生 AB (或A+B) 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测23415 当且仅当事件A发生且事件B发生 AB(或AB) 不可能 AB= 不可能 必然事件 AB=, 且AB= 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测23415 4.互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: . (2)必然事件的概率:P(A)= . (3)不可能事件的概率:P(A)= . (4)
3、概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)= . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必 然事件.P(AB)= ,P(A)= . 0P(A)1 1 0 P(A)+P(B) 1 1-P(B) 知识梳理 2 -9- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.( ) (5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.( ) 答案 答案 关闭 (1) (2)
4、 (3) (4) (5) 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 2.将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( ) A.必然事件B.随机事件 C.不可能事件D.无法确定 答案 答案 关闭 B 知识梳理 -11- 知识梳理双基自测23415 3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事 件是( ) A.至多有一次中靶B.两次都中靶 C.只有一次中靶D.两次都不中靶 答案解析解析 关闭 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况,由互斥事 件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥. 答案解析 关闭 D 知识梳理 -12- 知识梳理双基自测234
5、15 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -13- 知识梳理双基自测23415 5.从一副不包括大小王的扑克牌(52张)中,随机抽取1张,事件A为 “抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(AB)= (结 果用最简分数表示). 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -14- 考点1考点2考点3 例1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现 奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的 一面出现的数字不小于4,则( ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C
6、是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件 -15- 考点1考点2考点3 (2)若从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不 对立的事件有 .(填序号) 至少有一个红球,都是红球; 至少有一个红球,都是白球; 至少有一个红球,至少有一个白球; 恰有一个红球,恰有两个红球. 思考如何判断随机事件之间的关系? 答案解析解析 关闭 (1)根据互斥事件与对立事件的定义作答,AB=出现点数1或3,事件A,B不 互斥更不对立;BC=,BC=(为必然事件),故事件B,C是对立事件. (2)由互斥与对立的关系及定义知,不互斥,对立,不互斥,互斥不对 立. 答案解析 关闭 (1)D (2) -16-
7、考点1考点2考点3 解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分 类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进 行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从 而断定所给事件的关系.若两个事件所含的结果组成的集合的交集 为空集,则这两事件互斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集 合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. -17- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练1(1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任 取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 的事件是( ) A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡D
8、.至少有一张移动卡 (2)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报 纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D 为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.则下列两个事件是互 斥事件的有 ;是对立事件的有 .(填序号) A与C;B与E;B与C;C与E. -18- 考点1考点2考点3 答案: (1)A (2) 解析: (1)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张 全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A. (2)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事 件A与事件C有可能同时发生,因此A与C不是互斥事件
9、. 事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能 同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一 定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,因此B与E还是对立 事件. -19- 考点1考点2考点3 事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订 乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些 可能:“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两 个事件可能同时发生,因此B与C不是互斥事件. 由的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,即 事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件. -20- 考点1
10、考点2考点3 例2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每 瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天 全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单 位:)有关.如果最高气温不低于25,那么需求量为500瓶;如果最高 气温位于区间20,25),那么需求量为300瓶;如果最高气温低于20,那 么需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月 份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: -21- 考点1考点2考点3 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (
11、2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这 种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于 零的概率. 思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概 率? -22- 考点1考点2考点3 解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温 低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为 =0.6,所 以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900; 若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-
12、4450=300; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以,Y的所有可能值为900,300,-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知, 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. -23- 考点1考点2考点3 解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发 生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时, 频率越稳定于概率. 2.求随机事件的概率的常用方法有两种: (1)可用频率来估计概率; (2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的 方法有:列表法;列举法;树状图法. -24- 考点1考点2
13、考点3 对点训练对点训练2如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取 100名从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: -25- 考点1考点2考点3 解：(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的 有12+12+16+4=44(人). (1)试估计40 min内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频 率; (3)现甲、乙两人分别有40 min和50 min时间用于赶往火车站,为 了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们 应如何选择各自的路径. -26- 考点1考点2考点3 (2)选择L1的有60人
14、,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下 表. -27- 考点1考点2考点3 (3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),故甲应选 择 L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B 1),故乙应选择L2. 例3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如 下: 求:(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至
15、少3人排队等候的概率是多少? 思考求互斥事件的概率一般方法有哪些? -28- 考点1考点2考点3 -29- 考点1考点2考点3 解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队 等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5 人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,故 P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,故 P(H)=P(D+E+F)=P
16、(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G, 故P(H)=1-P(G)=0.44. -30- 考点1考点2考点3 解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法: (1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率 的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( ) 求出,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求较简便. -31- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3黄种人群中各种常见血型的人所占比例大约如下: 已知同种血型的人可以互相输血,O型血
17、的人可以给任一种血型 的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人 不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问 (1)任找一人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一人,其血不能输给小明的概率是多少? -32- 考点1考点2考点3 解 (1)对任一人,其血型为A,B,AB,O分别记为事件A,B,C,D,它 们是互斥的. 由已知,有P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35. 因为B型,O型血可以输给B型血的人,所以“任找一人,其血可以输 给小明”为事件BD,根据概率加法公式,得 P(BD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64. (2)(方法一)因为A型,AB型血不能输给B型血的人,所以“任找一 人,其血不能输给小明”为事件AC,根据概率加法公式,得 P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36. (方法二)记“任找一人,其血不能输给小明”为事件E,则与其血可 以输给小明是对立事件,则P(E)=1-0.64=0.36.