《2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：3.3 导数的综合应用 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：3.3 导数的综合应用 .pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3 3. .3 3 导数的综合导数的综合应用应用 -2- 考点1考点2考点3 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 例1设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; (3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx. 思考利用导数证明不等式的基本思路是什么? (1)解：(导数与函数的单调性) 由题设,f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -1,令f(x)=0解得x=1. 当00,f(x)单调递增; 当x1时,f(x)1,(构造函数) 设g(x)=1+(c-1)x-cx, 则g(x)=c-1-cxln c, -4- 考点1考点2考点3 解题心得利用导数证明不等式时
2、,可移项使不等式一边化为0的 形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题, 即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式 f(x)1. 所以当00,h(x)单调递增. 又h(1)=0,所以当00, 所以t(x)在(0,1)上单调递增, 即t(x)t(0)=0,所以axxln a+1. 所以g(x)=ax+xaxa+xln a+1=x(xa-1+ln a)+1x(1+ln a)+11. 综上,g(x)1. -7- 考点1考点2考点3 例2设f(x)=xex,g(x)= x2+x. (1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值; (2)若任意x1,x2-
3、1,+),且x1x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成 立,求实数m的取值范围. 思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么? 解:(1)F(x)=f(x)+g(x)=xex+ x2+x,F(x)=(x+1)(ex+1), 令F(x)0,解得x-1,令F(x)x2,有mf(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成 立, mf(x1)-g(x1)mf(x2)-g(x2)恒成立. 解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利 用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不 等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问 题转化为
4、函数的最值问题. -9- 考点1考点2考点3 (2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方, 求a的取值范围. -10- 考点1考点2考点3 -11- 考点1考点2考点3 -12- 考点1考点2考点3 例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围? 解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex- 1)(2ex+1). ()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln
5、a)时,f(x)0,所以f(x)在(- ,-ln a)内单调递减,在(-ln a,+)内单调递增. -13- 考点1考点2考点3 (2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. ()若a0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值, 又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)内有一个零 点. -14- 考点1考点2考点3 解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函 数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象, 讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交 点问题),进而确定参数的取值
6、范围. -15- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增. -16- 考点1考点2考点3 故当x(1,+)时,f(x)0, 因此f(x)在(1,+)单调递增. 又当x1时,f(x)0. 因此f(x)在(1,ln(-2a)单调递减, 在(ln(-2a),+)单调递增. 又当x1时f(x)f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0. 从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.