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1、8 8. .5 5 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 -2- 知识梳理双基自测231 1.直线与平面垂直 任意 mn=O a 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测231 b ab 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测231 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就 说这两个平面互相垂直. 直二面角 知识梳理 -5- 知识梳理双基自测231 (2)判定定理与性质定理 垂线 交线 l 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测231 3.常用结论 (1)线面平行或垂直的有关结论 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这
2、个 平面. 若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一 条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 垂直于同一条直线的两个平面平行. 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个 平面也垂直. 两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第 三个平面. (2)证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件. 知识梳理 2 -7- 知识梳理双基自测3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)已知直线a,b,c;若ab,bc,则ac.( ) (2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.( ) (3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n
3、. ( ) (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一 个平面.( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则. ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 2.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直 线中与B1O垂直的是( ) A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1 答案解析解析 关闭 由题易知,A1C1平面BB1D1D,又OB1平面DD1B1B,所以A1C1B1O 答案解析 关闭 D 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测23415 3.(教材习题改编P6
4、9练习)将图中的等腰直角三角形ABC沿斜 边BC的中线折起得到空间四面体A-BCD(如图),则在空间四面体 A-BCD中,AD与BC的位置关系是( ) A.相交且垂直B.相交但不垂直 C.异面且垂直D.异面但不垂直 答案解析解析 关闭 在题图中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高, 则ADBC,翻折后如题图,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条 线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即ADBD,ADCD,故AD平面BCD,所 以ADBC. 答案解析 关闭 C 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 4.(教材习题改编P67T2)P为ABC所在平面外一点,O为
5、P在平面 ABC内的射影. (1)若P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,则O是ABC 的 心; (2)若PABC,PBAC,则O是ABC的 心; (3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是ABC的 心. 答案解析解析 关闭 (1)由P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,可知O到ABC三边距 离相等,即O是ABC的内心;(2)由PO平面ABC且BC平面ABC,得POBC, 又PABC,PO与PA是平面POA内两条相交直线,所以BC平面POA,从而 BCAO.同理ACBO,所以O是ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC与底面所成的 角相等,易得RtPOA RtPOB RtPO
6、C,从而OA=OB=OC,所以O是 ABC的外心. 答案解析 关闭 (1)内 (2)垂 (3)外 知识梳理 -11- 知识梳理双基自测23415 5.如图,PAO所在平面,AB是O的直径,C是O上一 点,AEPC,AFPB,给出下列结 论:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命题 的序号是 . 答案解析解析 关闭 因为AE平面PAC,BCAC,BCPA,所以AEBC,故正确;因为 AEPC,AEBC,PB平面PBC,所以AEPB,又AFPB,EF平面AEF,所以 EFPB,故正确;因为AFPB,若AFBC,则AF平面PBC,则AFAE,与 已知矛盾,故错误;由可知正确. 答案解
7、析 关闭 -12- 考点1考点2考点3 例1如图,S是RtABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC 的中点. (1)求证:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD平面SAC. 思考证明线面垂直的常用方法有哪些? -13- 考点1考点2考点3 证明:(1)如图,取AB的中点E,连接SE,DE, 在RtABC中, D,E分别为AC,AB的中点, DEBC,DEAB. SA=SB,SEAB. 又SEDE=E,AB平面SDE. 又SD平面SDE,ABSD. 在SAC中,SA=SC,D为AC的中点,SDAC. 又ACAB=A,SD平面ABC. (2)AB=BC,D为AC的中点,BD
8、AC. 由(1)可知,SD平面ABC, BD平面ABC,SDBD. 又SDAC=D,BD平面SAC. -14- 考点1考点2考点3 解题心得1.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的判定定理(常用方 法):la,lb,a,b,ab=Pl. (2)面面垂直的性质定理(常用方法):,=l,a,ala. (3)性质:ab,ba,aa. (4),=ll.(客观题可用) 2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形 底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直 径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线 段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等. -15- 考
9、点1考点2考点3 对点训练对点训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EFA1D,EFAC, 求证:EFBD1. -16- 考点1考点2考点3 证明:如图,连接A1C1,C1D,B1D1,BD. 因为ACA1C1,EFAC, 所以EFA1C1. 又EFA1D,A1DA1C1=A1, 所以EF平面A1C1D. 因为BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1, 所以BB1A1C1. 因为四边形A1B1C1D1为正方形,所以A1C1B1D1. 又B1D1BB1=B1,所以A1C1平面BB1D1D. 又BD1平面BB1D1D,所以A1C1BD1. 同理,DC1BD1. 因为DC
10、1A1C1=C1,所以BD1平面A1C1D. 由可知EFBD1. -17- 考点1考点2考点3 例2如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面 ABCD. (1)证明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱 锥的侧面积. 思考证明面面垂直的常用方法有哪些? -18- 考点1考点2考点3 (1)证明 因为四边形ABCD为菱形, 所以ACBD. 因为BE平面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED. -19- 考点1考点2考点3 -20- 考点1考点2考点3 解题心得1.两个平
11、面互相垂直是两个平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可 转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l,l,缺一不可. -21- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练2如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面 PAC,ABBP,M,N分别为PA,AB的中点. (1)求证:PB平面CMN; (2)若AC=PC,求证:AB平面CMN. -22- 考点1考点2考点3 证明:(1)在平面PAB中,因为M,N分别为PA,AB的中点,所以 MNPB. 又PB平面CMN,MN平面CMN, 所以PB平面CMN. (2
12、)在平面PAB中,因为ABBP,MNPB,所以ABMN. 因为AC=PC,M为PA的中点,所以CMPA. 又平面PAB平面PAC,平面PAB平面PAC=PA, 所以CM平面PAB. 因为AB平面PAB,所以CMAB. 又CMMN=M,CM平面CMN,MN平面CMN, 所以AB平面CMN. -23- 考点1考点2考点3 考向一 平行与垂直关系的证明 例3(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB,AB1B1C1.求证: (1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC. 思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么? -24- 考点1考点
13、2考点3 证明:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC. -25- 考点1考点2考点3 考向二 探索性问题中的平行与垂直关系 例4如图,在四棱
14、锥P-ABCD中,底面ABCD是菱 形,DAB=45,PD平面ABCD,PD=AD=1,点E为AB上一点,且 点F为PD中点. (1)若k= ,求证:直线AF平面PEC; (2)是否存在一个常数k,使得平面PED平面PAB?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由. 思考探索性问题的一般处理方法是什么? -26- 考点1考点2考点3 -27- 考点1考点2考点3 -28- 考点1考点2考点3 考向三 折叠问题中的平行与垂直关系 例5如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在 AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位 置. (1)证明:ACHD
15、; 思考折叠问题的处理关键是什么? -29- 考点1考点2考点3 -30- 考点1考点2考点3 -31- 考点1考点2考点3 解题心得平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策 略: (1)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化,要熟练掌 握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化. (2)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索 点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相 似知识找点. (3)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折 叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系. -32- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3(1)如图
16、,四边形ABCD为梯形,ABCD,PD平面 ABCD,BAD=ADC=90,DC=2AB=2,DA= . -33- 考点1考点2考点3 (2)如图,在RtABC中,ABC=90,D为AC的中点,AEBD于 点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将ABD沿BD折起,得到三棱 锥A1-BCD,如图所示. 若M是FC的中点,求证:直线DM平面A1EF; 求证:BDA1F. -34- 考点1考点2考点3 BD=DC=2, E为BC的中点,BCDE, PD平面ABCD,BCPD, DEPD=D,BC平面PDE, BC平面PBC, 平面PBC平面PDE. -35- 考点1考点2考点3 PD平面ABCD,且PC=3PF, (2)证明:因为D,M分别为AC,FC的中点,所以DMEF. 又EF平面A1EF,DM平面A1EF, 所以DM平面A1EF. 因为A1EBD,EFBD且A1EEF=E,所以BD平面A1EF. 又A1F平面A1EF,所以BDA1F.