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1、专题强化五 天体运动的“四类热点”问题 第四章 曲线运动 万有引力与航天 大一轮复习讲义 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表 面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以 选择题形式在高考题中出现. 2.学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动 关系的理解. 3.需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等. 专题解读 NEIRONGSUOYIN 内容索引 过好双基关 研透命题点 课时作业 回扣基础知识 训练基础题目 细研考纲和真题 分析突破命题点 限时训练 练规范 练速度 过好双基关 一、卫星的轨道 1.
2、赤道轨道：卫星的轨道在 平面内，同步卫星就是其中的一种. 2.极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在 赤道的平面内，如极地 气象卫星. 3.其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道. 所有卫星的轨道平面一定通过地球的 . 赤道 垂直于 球心 自测1 (多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 A.与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆 B.与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆 C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 解析 人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心 力，
3、而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在 轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点， 故A错误； 由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的 平面共面，所以B错误； 相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星，它必须在赤道平面内，且距地 面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星 也可以在赤道平面内运动，不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就 会相对于地面运动，C、D正确. 二、地球同步卫星的特点 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.同步卫星 有以下“七个一定”
4、的特点： (1)轨道平面一定：轨道平面与 共面. (2)周期一定：与地球自转周期 ，即T . (3)角速度一定：与地球自转的角速度 . (4)高度一定：由G m (Rh)得地球同步卫星离地面的高度h 3.6107 m. 24 h 赤道平面 相同 相同 (5)速率一定：v 3.1103 m/s. (6)向心加速度一定：由G ma得a gh0.23 m/s2，即同步卫 星的向心加速度等于轨道处的重力加速度. (7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向 . 一致 自测2 (2018河南省鹤壁市第二次段考)已知某行星半径为R，以第一宇宙速 度围绕该行星运行的卫星的绕行周期为T，围绕该行星运动的同步卫星
5、运行速 率为v，则该行星的自转周期为 解析 设同步卫星距地面的高度为h， 三、卫星变轨 1.当卫星的速度突然增大时，G m ，即万有引力不足以提供向心力，卫 星将做 运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大.当卫星进入新的轨道稳 定运行时，由v 可知其运行速度比原轨道运行时的小，但重力势能、 机械能均 . 2.当卫星的速度突然减小时，G m ，即万有引力大于所需要的向心力， 卫星将做 运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小.当卫星进入新的轨道 稳定运行时，由v 可知其运行速度比原轨道运行时的大，但重力势能、 机械能均 . 增加 近心 减小 自测3 (2018安徽省江南十校冲刺联考)现对于发射地球同步
6、卫星的过程分析， 如图1所示，卫星首先进入椭圆轨道，P点是轨道上的近地点，然后在Q点 通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道，则 A.卫星在同步轨道上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s B.该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s C.在轨道上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s D.在轨道上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s 图1 解析 第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度， 故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第 一宇宙速度，A错误； 该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误； P点为近地轨道上的一
7、点，但要从近地轨道变轨到轨道，则需要在P点加速， 所以卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确； 在Q点要从轨道变轨到轨道，则需要在Q点加速，即卫星在轨道上经过Q 点的速度大于在轨道上经过Q点的速度，而轨道上的速度小于第一宇宙速 度，故卫星在轨道上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误. 研透命题点 1.解决同步卫星问题的“四点”注意 命题点一 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行问题 (2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析. (3)物理规律： 不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期. 不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径. 不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平
8、面上，只能静止在 赤道上方的特定的点上. (4)重要条件： 地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4103 km， 地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2. 月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天. 人造地球卫星的运行半径最小为r6.4103 km，运行周期最小为T84.8 min， 运行速度最大为v7.9 km/s. 2.两个向心加速度 卫星绕地球运行的向心加速度物体随地球自转的向心加速度 产生原因由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分 力为重力)产生 方向指向地心垂直且指向地轴 大小a (地面附近a近似等于g) ar2，r为地面上某点到地轴
9、 的距离，为地球自转的角速度 特点随卫星到地心的距离的增大而减小从赤道到两极逐渐减小 3.两种周期 (1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的 快慢. (2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间， T2 ， 取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离. 例1 (2018江西省鹰潭市模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤 道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星， d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运 动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是 A.
10、a的向心加速度等于重力加速度g B.c在4 h内转过的圆心角为 C.b在相同的时间内转过的弧长最长 D.d的运动周期可能是23 h 图2 解析 同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速 度相同，根据a2r知，c的向心加速度大，由 ma知，c的向心加速度小 于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度 g，选项A错误； 由于c为同步卫星，所以c的周期为24 h，因此4 h内转过的圆心角为 ，选项 B错误； 由四颗卫星的运行情况可知，b运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间 内转过的弧长最长，选项C正确； d的运行周期比c要长，所以其周期应大于
11、24 h，选项D错误. 变式1 (2016四川理综3)如图3所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人 造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的“东方红二号” 卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设“东方红一号”在远地点 的加速度为a1，“东方红二号”的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地 球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为 A.a2a1a3 B.a3a2a1 C.a3a1a2 D.a1a2a3 图3 解析 由于“东方红二号”卫星是同步卫星，则其角
12、速度和赤道上的物体角 速度相等，根据a2r，r2r3，则a2a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得， G ma，由题目中数据可以得出，r1a2a3，选项D正确. 变式2 (2018福建省南平市第一次质检)如图4所示是北斗导航系统中部分卫星 的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b 的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T.则 A.卫星b也是地球同步卫星 B.卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍 C.卫星c的周期为 T D.a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为vavb vc 图4 解析 卫星b相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A错误
13、； 1.变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到 圆轨道上.如图5所示. (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足 以提供卫星在轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心 运动进入椭圆轨道. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道. 命题点二 卫星变轨问题 图5 2.变轨过程各物理量分析 (1)速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道上过 A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vAv1，在B点加速，则v3vB，又 因v1v3，故有vAv1v3vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是
14、轨道 上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同. (3)周期：设卫星在、轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径 分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律 k可知T1 T T B.飞船在轨道上的机械能大于在轨道上的机械能 C.飞船在P点从轨道变轨到轨道，需要在P点朝速 度方向喷气 D.若轨道贴近火星表面，已知飞船在轨道上运动的角速度，可以推知火星 的密度 图7 解析 根据开普勒第三定律 k可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期T T T，选项A正确； 飞船在P点从轨道变轨到轨道，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速 到达轨道，则在轨道上机械能小于在轨道的机
15、械能，选项B错误，C正确； 根据G m2R以及M R3，解得 ，即若轨道贴近火星表面，已知 飞船在轨道上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确. 变式4 (多选)(2018河南省南阳、信阳等六市二模)若“嫦娥四号”从距月面高 度为100 km的环月圆形轨道上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道 ，由近月点Q落月，如图8所示.关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是 A.沿轨道运动至P时，需制动减速才能进入轨道 B. 沿轨道运行的周期大于沿轨道运行的周期 C.沿轨道运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度 D.在轨道上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其 做正功，它的动能增加，重力
16、势能减小，机械能不变 图8 解析 要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道上的P点实施变轨进入椭圆轨道， 需制动减速做近心运动，A正确； 由开普勒第三定律知，沿轨道运行的周期小于沿轨道运行的周期，B错误； 万有引力使物体产生加速度，沿轨道运行时，在P点的加速度 小于在Q点的加速度，C错误； 月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球，所以在轨道上由P点运行到Q点的 过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变， D正确. 1.双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如 图9所示. (2)特点： 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 命题点三 双
17、星或多星模型 图9 两颗星的周期及角速度都相同，即 T1T2，12 两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L 两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即 . 双星的运动周期 T2 双星的总质量 m1m2 2.多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星 体外，各星体的角速度或周期相同. 图10 (2)三星模型： 三颗星体位于同一直线上，两颗质量 相等的环绕星围绕中央星在同一半径为 R的圆形轨道上运行(如图10甲所示). 三颗质量均为m的星体位于等边三角 形的三个顶点上(如图乙所示). (3)四星模型： 其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个
18、顶点上，沿着外接于正 方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示). 另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位 于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示). 例3 (多选)(2018全国卷20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星 合并的引力波.根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它 们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看做是质 量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估 算出这一时刻两颗中子星 A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度 解析 两颗中子
19、星运动到某位置的示意图如图所示 每秒转动12圈，角速度已知 中子星运动时，由万有引力提供向心力得 lr1r2 质量之和可以估算. 由线速度与角速度的关系vr得 v1r1 v2r2 由式得v1v2(r1r2)l，速率之和可以估算. 质量之积和各自自转的角速度无法求解. 变式5 (多选)(2018广东省高考第一次模拟)如图11，天文观测中观测到有三 颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期 为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这 个三星系统，下列说法正确的是 A.三颗星的质量可能不相等 B.某颗星的质量为 C.它们的线速度大小均为 D.它
20、们两两之间的万有引力大小为图11 根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心， 所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大， 由于这两颗星到第三颗星的距离相同， 故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m， 1.相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近， 从运动关系上，两卫星运动关系应满足(AB)t2n(n1,2,3，). 2.相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上， 两卫星运动关系应满足(AB)t(2n1)(n1,2,3). 命题点四 天体的追及相遇问题 例4 (2018福建省泉州市考前适应性模拟)当地
21、球位于太阳和木星之间且三者 几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星 冲日”.已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周 运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍.则下列说法正确的是 A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年 B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年 C.木星运行的加速度比地球的大 D.木星运行的周期比地球的小 设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有1t2t2， 因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A错误，B正确； 设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a. 由于木星到太阳的距离大
22、约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速 度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误. 变式6 (多选)(2019山西省太原市质检)如图12，三个质点a、b、c的质量分别 为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿 逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为rarb14，则下列说法 中正确的有 A.a、b运动的周期之比为TaTb18 B.a、b运动的周期之比为TaTb14 C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 图12 解析 根据开普勒第三定律：周期
23、的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动 的周期之比为18，A对； 可知nRB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误； 根据线速度与角速度的关系有：vARA、vBRB， 因为角速度相等，半径RARB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确； 所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确. 8.(2018安徽省池州市上学期期末)地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都 可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现 象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则 A.地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大 B.地
24、球的运行速度比海王星的运行速度小 C.2019年不会出现海王星冲日现象 D.2017年出现过海王星冲日现象 123456789101112 综合提升练 解析 地球的公转周期比海王星的公转周期小， 可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A错误； 可知海王星的运行速度比地球的运行速度小， 故B错误； 123456789101112 9.(2018四川省德阳市高考一诊)2016年10月17日发射的“神舟十一号”飞船于 2016年10月19日与“天宫二号”顺利实现了对接，如图4.在对接过程中，“神 舟十一号”与“天宫二号”的相对速度非常小，可以认为具有相同速率.它们的 运动可以看做是绕地球
25、的匀速圆周运动，设“神舟十一号”的质量为m，对接处 距离地球表面高度为h，地球的半径为r，地球表面处的重力加速度为g，不考虑 地球自转的影响，“神舟十一号”在对接时，下列说法正确的是 图4 123456789101112 123456789101112 解析 “神舟十一号”在对接处的重力加速度小于地球表面的重力加速度， 对地球的引力小于mg，故A错误； 123456789101112 解得：GMgr2 123456789101112 10.(多选)(2019福建省龙岩市模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远 的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统 中每个星
26、体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的 四个顶点上，其中L远大于R.已知万有引力常量为G，忽略星体的自转，则关于 四星系统，下列说法正确的是 A.四颗星做圆周运动的轨道半径为 B.四颗星做圆周运动的线速度均为 C.四颗星做圆周运动的周期均为2 D.四颗星表面的重力加速度均为G 123456789101112 解析 如图所示， 四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动， 取任一顶点上的星体为研究对象， 123456789101112 对于在星体表面质量为m0的物体，受到的重力等于万有引力， 123456789101112 11.(2019湖北省宜昌市调研)2013年我
27、国相继完成“神十”与“天宫”对接、 “嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程.某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想： 如图5，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该 轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球.设“玉兔” 质量为m，月球半径为R，月球表面的重力加速度为g月.以月球表面为零势能面， “玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep . 若忽略月球的自转，求： (1)“玉兔”在h高度的轨道上的动能； 图5 123456789101112 123456789101112 解析 设月球质量为M，“玉兔”在h高度的轨道上的速度大小为v， (2)从开始发射到对接完成
28、需要对“玉兔”做的功. 123456789101112 12.(2018江西省七校第一次联考)两个天体(包括人造天体)间存在万有引力，并具有由 相对位置决定的势能.如果两个天体的质量分别为m1和m2，当它们相距无穷远时势能 为零，则它们距离为r时，引力势能为EpG .发射地球同步卫星一般是把它先 123456789101112 图6 送入较低的圆形轨道，如图6中轨道，再经过两次“点火”，即 先在图中a点处启动燃气发动机，向后喷出高压燃气，卫星得到加 速，进入图中的椭圆轨道，在轨道的远地点b处第二次“点 火”，卫星再次被加速，此后，沿图中的圆形轨道(即同步轨道) 运动.设某同步卫星的质量为m，地球半径为R，轨道距地面非常 近，轨道距地面的距离近似为6R，地面处的重力加速度为g，并 且每次点火经历的时间都很短，点火过程中卫星的质量减少可以 忽略.求： (1)从轨道转移到轨道的过程中，合力对卫星所做的总功是多少？ 123456789101112 解析 卫星在轨道和轨道做圆周运动，应满足： (2)两次“点火”过程中燃气对卫星所做的总功是多少？ 123456789101112