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1、第四章 曲线运动 万有引力与航天 第2讲 抛体运动 大一轮复习讲义 NEIRONGSUOYIN 内容索引 过好双基关 研透命题点 课时作业 回扣基础知识 训练基础题目 细研考纲和真题 分析突破命题点 限时训练 练规范 练速度 过好双基关 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在 作用下的运动. 2.性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是抛物线. 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 直线运动； (2)竖直方向： 运动. 一、平抛运动 重力 匀变速 自由落体 匀速 4.基本规律 如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向) 为x轴正方向，竖直向
2、下为y轴正方向. v0t 图1 (1)位移关系 gt (2)速度关系 自测1 人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2， 不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是 解析 小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化 的方向竖直向下，C正确. 自测2 一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计 空气阻力) 1.定义：将物体以初速度v0 或斜向下方抛出，物体只在 作用下 的运动. 2.性质：斜抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 . 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 直线运动；(2)竖直方向： 直线运动
3、. 斜向上方重力 匀变速 二、斜抛运动 抛物线 匀速匀变速 4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示) (1)水平方向：v0x ，F合x0； (2)竖直方向：v0y ，F合ymg. 图2 v0cos v0sin 自测3 有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方 向抛出，不计空气阻力，如图3所示，为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是 A. B. C. D. 图3 解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小 和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小 球的运动轨迹相同，故A项正确. 研透命题点 1.飞行时间 由t 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关. 2.水平射程 xv
4、0tv0 ， 即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定， 与其他因素无关. 命题点一 平抛运动基本规律的应用 3.落地速度 4.速度改变量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等 时间间隔t内的速度改变量vgt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示. 图4 5.两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一 定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB . 图5 推导： (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan 2tan . 推导： 例1 (2017全国卷15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不 同的乒乓球(忽
5、略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过 球网.其原因是 A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 类型1 单个物体的平抛运动 解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h gt2及vy22gh可知， 乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关， 故选项A、B、D均错误； 由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下 落的距离较小，可以越过球网，故C正确. 变式1 (20
6、18安徽省滁州市上学期期末)在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平 距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的 ， 要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力) 解析 设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有： 例2 (2017全国卷17)如图6，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的 直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平 飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应 的轨道半径为(重力加速度大小为g) 图6 解析 设小物块滑到轨道上端的速度大小为v1，小物块由最低
7、点到最高点的过程， 变式2 (多选)(2018福建省三明市上学期期末)如图7所示，将一小球从空中A点 以水平速度v0抛出，经过一段时间后，小球以大小为2v0的速度经过B点，不计 空气阻力，则小球从A到B(重力加速度为g) 图7 即运动方向改变的角度为60，故D正确. 1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者 间距只取决于两物体的水平分运动. 2.若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同， 二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定. 3.若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距 取决于两物体的水平分运动和竖直分运
8、动. 4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达 此处才会相遇. 类型2 多个物体的平抛运动 例3 (多选)(2018广东省七校联合体第三次联考)如图8，在同一竖直面内，小 球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同 时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相 垂直.若不计空气阻力，则 A.小球a比小球b先抛出 B.初速度va小于vb C.小球a、b抛出点距地面高度之比为vbva D.初速度va大于vb 图8 由于小球a的高度比小球b的大，所以 tatb 由于小球a、b的水平位移相等，由xv0t得vavb，
9、故A、B正确，D错误. 变式3 在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三 个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、 2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出， 先后落到水平路面上，如图9所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A.三个小球落地时间差与车速有关 B.三个小球落地点的间隔距离L1L2 C.三个小球落地点的间隔距离L1L2 图9 解析 落地时间只与下落的高度有关，故A项错误； 三个小球在竖直方向上做自由落体运动， 如图10所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但 水平位移d相同，t . 命题点二
10、有约束条件的平抛运动模型 模型1 对着竖直墙壁平抛 图10 例4 (多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留 下的弹痕如图11所示，已知Oaabbc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力) 图11 解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是 匀速直线运动，又因为竖直方向上Oaabbc，即OaObOc123， 1.顺着斜面平抛(如图12) 模型2 斜面上的平抛问题 图12 方法：分解位移. xv0t， 2.对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图13) 图13 方法：分解速度. vxv0， vygt， 例5 (2018全国卷17)在一斜面顶端，将
11、甲、乙两个小球分别以v和 的速度 沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至 斜面时速率的 A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 解析 如图所示，可知：xvt， vygt2tan v 变式4 (2019山西省晋城市模拟)如图14所示，斜面体ABC固定在水平地面上， 斜面的高AB为 m，倾角为37，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同 的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点 到C点的水平距离为(sin 370.6，cos 370.8，g10 m/s2，不计空气阻力) 图14 解析 设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x， 变式5
12、 (2018福建省南平市5月第二次模拟)为践行新形势下的强军目标，在某 次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直 击中倾角为37、长为L300 m的斜坡的中点P，如图15，若sin 370.6， cos 370.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为 A.h170 m v30 m/s B.h135 m v40 m/s C.h80 m v30 m/s D.h45 m v40 m/s 图15 如图16所示， 模型3 半圆内的平抛问题 图16 半径和几何关系制约平抛运动时间t： 联立两方程可求t. 例6 (2018江西省赣州市十四县市期中)如图
13、17，从O点以水平初速度v1、v2抛出 两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相 垂直，且OA与竖直方向成角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1v2为 A.tan B.cos C.tan D.cos 解析 设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2. 图17 变式6 如图18所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一 个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是 A.只要v0足够大，小球可以击中B点 B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向 和水平方向之间的夹角可以相同 C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击
14、到半球壳上 D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上 图18 解析 小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误； v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角不同， 由推论tan 2tan 可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平 方向之间的夹角也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长 线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而 这是不可能的，故B、C错误，D正确. 例7 如图19所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m 的线上，正对网向上跳起将球水平击出.(不计
15、空气阻力，取g10 m/s2) (1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能 使球既不触网也不越界？ 图19 命题点三 平抛运动的临界和极值问题 答案 见解析 解析 如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x13 m， 竖直位移y1h2h1(2.52) m0.5 m， 设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x212 m，竖直位移y2 h22.5 m， (2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球 不是触网就是越界，试求这个高度. 答案 见解析 解析 设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示
16、设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x33 m，竖直位移y3h3 h1h32 m， 同理对压线点有x412 m，y4h3， 联立解得h32.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度 多大，球不是触网，就是越界. 变式7 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图20所示.水平台面的长和宽分别为 L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向 右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力 加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能 使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是 图
17、20 解析 当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有： 当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为 课时作业 1.(2018福建省福州市调研)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与 水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是 A.小球初速度为 tan B.小球着地速度大小为 C.若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍 D.若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2 双基巩固练 123456789101112 2.(2018湖北省武汉市调研)如图1是对着竖直墙壁沿水平方向
18、抛出的小球a、b、 c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出.不计 空气阻力，则 A.a和b的飞行时间相同 B.b的飞行时间比c的短 C.a的水平初速度比b的小 D.c的水平初速度比a的大 123456789101112 图1 解析 根据t 可知， b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长， 根据v0 ， 因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误； b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误； a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0 ，因水平位移相同，则a 的水平初速度比c的小，选项D正确. 123456789101112 3.(2
19、018山东省济南一中期中)如图2所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1 和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30的斜面上的C点，小球B恰好垂直 打到斜面上，则v1、v2之比为 A.11 B.21 C.32 D.23 123456789101112 图2 解析 小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同， 均设为t，对A球： xv1t 123456789101112 小球B恰好垂直打到斜面上，则有： 123456789101112 由得：v1v232，所以C正确. 4.(2018河南省洛阳市尖子生第二次联考)利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的 小游戏.如图3所示，游戏时，游戏者滑动
20、屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固 定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸 篓的底角.若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是 A.在P点将纸团以小于v的速度水平抛出 B.在P点将纸团以大于v的速度水平抛出 C.在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出 D.在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出 123456789101112 图3 解析 在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则 纸团不能进入篓中，故A错误. 在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中 篓底的正中间，故B错误. 在P点
21、正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据xv0 知， 水平位 移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间， 故C正确. 在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能 直接击中篓底正中间，故D错误. 123456789101112 5.(2018天津市部分区上学期期末)如图4所示，在水平地面上M点的正上方h高 度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2 竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球 在这段过程中 A.做的都是变加速运动 B.速度变化量的大小不相等 C.速度变化量的方向不
22、相同 D.相遇点在N点上方 处 图4 123456789101112 解析 由于两个球都只受到重力的作用，做的都是匀变速运动，故A错误； 由vatgt，知它们速度的变化量相同，速度变化量的方向都竖直向下，故 B、C错误； 123456789101112 6.(2018江西省横峰中学、铅山一中等校联考)从离地面高为h处以水平速度v0抛 出一个物体，不计空气阻力，要使物体落地速度与水平地面的夹角最大，则h 与v0的取值应为下列的 A.h15 m，v05 m/s B.h15 m，v08 m/s C.h30 m，v010 m/s D.h40 m，v010 m/s 123456789101112 解析
23、水平方向上做匀速直线运动：vv0，xv0t， 所以h越大，初速度v0越小，物体落地的速度方向与水平地面的夹角越大，故A 正确，B、C、D错误. 123456789101112 7.(2018广东省肇庆市一模)如图5所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一 小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1.若给小球不同的水平初 速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经 过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则 A.t1t2 B.t4t1 C.t3t4 D.t3t2 123456789101112 图5 123456789101112
24、 因此下落高度大的时间长，所以有t4t3t2，故C、D错误； 所以沿斜面下滑时间是最长的，则t4t1，故A错误，B正确. 8.(2018广东省韶关市调研)如图6所示，离地面高h处有甲、乙两个小球，甲以 初速度v0水平射出，同时乙以大小相同的初速度v0沿倾角为45的光滑斜面滑下， 若甲、乙同时到达地面，重力加速度为g，则初速度v0的大小是 123456789101112 图6 9.(多选)(2018河北省石家庄市模拟)如图7所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落 在水平地面上的A点.乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后 恰好也落在A点.已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方
25、向的分速度不变，竖 直方向的分速度方向相反、大小不变，不计空气阻力.下列说法正确的是 A.由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等 B.甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水 平位移的3倍 C.v1v2 31 D.v1v2 21 123456789101112 图7 解析 设OA间的竖直高度为h.由O点到A点，甲球运动时间为t甲 .乙球运 动时间是甲球的3倍，A错误； 乙球先做平抛运动，再做斜上抛运动，根据对称性可知，从B到A的水平位移 等于从O到B的水平位移的2倍，所以甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点 到B点水平位移的3倍，B正确； 设乙球由O点到B点水平位移为x，时间为t
26、.对甲球有3xv1t，对乙球有xv2t， 则得v1v231，故C正确，D错误. 123456789101112 10.(2018广东省揭阳市二模)如图8所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌 面H，网到桌边的水平距离为L，在某次乒乓球训练中，从左侧 处，将球沿垂 直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘，设乒乓球的 运动为平抛运动，下列判断正确的是 A.击球点的高度与网高度之比为21 B.乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为21 C.乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为12 D.乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为12 123456789101112 图8 综合提升练 解
27、析 因为水平方向做匀速运动，乒乓球在网右侧的水平位移是左边水平位移 的两倍， 所以乒乓球在网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动， 123456789101112 123456789101112 网右侧运动时间是左侧的两倍，vgt， 所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为12，故D正确. 11.(2018甘肃省兰州一中模拟)如图9所示，AB是半圆弧的直径，处于水平，O 是圆弧的圆心，C是圆弧上一点，OAC37，在A、O两点分别以一定的初 速度同时水平抛出两个小球，结果都落在C点，则两个球抛出的初速度v1、v2的 大小之比为(sin 370.6，cos 370.8，取g10 m/
28、s2，不计空气阻力) A.v1v2327 B.v1v2167 C.v1v2163 D.v1v2169 123456789101112 图9 设圆弧的半径为R，则A点抛出的球平抛运动的水平位移x12Rcos 37cos 37 1.28R，从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为x2x1R0.28R， 123456789101112 12.(2018湖北省黄冈市质检)如图10所示，倾角37、高h1.8 m的斜面位于水 平地面上，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰 好落到斜面底端B点处.空气阻力忽略不计，取重力加速度g10 m/s2，tan 370.75. (1)求小球平抛的初速度v0的大小； 123456789101112 图10 解析 小球水平抛出后恰好落在斜面底端， 设水平位移为x， xv0t 由几何知识可得 答案 4 m/s 联立并代入已知数据得v04 m/s (2)若在小球水平抛出的同时，使斜面在水平面上由静止开始向右做匀加速直线 运动，经t20.3 s小球落至斜面上，求斜面运动的加速度大小. 123456789101112 答案 13.3 m/s2 解析 如图所示， 设经过t20.3 s，斜面运动的位移为x1，加速度大小为a， 小球做平抛运动竖直位移为h2， x2v0t2 123456789101112