2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题06三角函数及解三角形文（含解析）.pdf

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1、专题 06 三角函数及解三角形专题 06 三角函数及解三角形 1【2019 年高考全国卷文数】函数f(x)= 2 sin cos xx xx 在的图像大致为, AB CD 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称， 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx ( )f x 排除 A又，排除 B，C，故选 D 2 2 1 42 2 ( )1, 2 ( ) 2 f 2 ()0 1 f 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或 赋值法，利用数形结合思想解题解答本题时，先判断函数的奇偶性，

2、得是奇函数，排除 A，再注 ( )f x 意到选项的区别，利用特殊值得正确答案 2 【2019 年高考全国卷文数】tan255= A2B2+3 3 C2D2+ 33 【答案】D 【解析】=tan255tan(18075 )tan75tan(4530 ) tan45tan30 1tan45 tan30 故选 D. 3 1 3 23. 3 1 3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运 算求解能力首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式 计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查 3【2019 年高考全

3、国卷文数】 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知asinAbsinB=4csinC， cosA= ，则= 1 4 b c A6B5 C4D3 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理可得， 222 4abc 由余弦定理推论可得 22222 14131 cos, 422424 bcaccc A bcbcb ，故选 A 3 46 2 b c 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再 结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4 【2019 年高考全国卷文数】若x1=，x2=是函数f(x)=(0)两个相邻的极值点，则= 4 4 sinx A

4、2B 3 2 C1D 1 2 【答案】A 【解析】由题意知，的周期，解得故选 A( )sinf xx 23 2() 44 T 2 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养利用周期 公式，通过方程思想解题 5【2019 年高考全国卷文数】已知a（0，），2sin2=cos2+1，则 sin= 2 AB 1 5 5 5 CD 3 3 2 5 5 【答案】B 【 解 析 】，2sin2cos21 2 4sincos2cos.0,cos0 2 sin0, ，又，又，故2sincos 22 sincos1 22 1 5sin1,sin 5 sin0 5 sin 5

5、 选 B 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余 弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数 值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及 正余弦平方和为 1 关系得出答案 6【2019年高考全国卷文数】函数在0，2的零点个数为( )2sinsin2f xxx A2 B3 C4D5 【答案】B 【解析】由，( )2sinsin22sin2sincos2sin (1 cos )0f xxxxxxxx 得或，sin0x cos1x ，0,2x02x 、 或

6、 在的零点个数是 3，( )f x0,2 故选 B 【名师点睛】 本题考查在一定范围内的函数的零点个数， 渗透了直观想象和数学运算素养 令，( )0f x 得或，再根据x的取值范围可求得零点.sin0x cos1x 7【2019 年高考北京卷文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数” 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】时，为偶函数；0b ( )cossincosf xxbxx ( )f x 为偶函数时，对任意的恒成立， 即， ( )f x()= ( )fxf xx()cos()si

7、n()cossinfxxbxxbx ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“cossincossinxbxxbxsin0bx x 0b 0b ( )f x 为偶函数”的充分必要条件，故选 C. 【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为 R R 的函数为偶函数等 ( )f x 价于恒成立进行判断.()= ( )fxf x 8 【2019 年高考北京卷文数】 如图，A，B是半径为 2 的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，APB 大小为.图中阴影区域的面积的最大值为 A4+4cosB4+4sin C2+2cosD2+2sin 【答案】B 【解析】设圆心为O，如图 1，

8、连接OA，OB，AB，OP，则，22AOBAPB 所以， 2 22 4 2 OAB S 扇形 因为，且都已确定， ABPAOBOAB SSSS 阴影扇形AOBOAB SS 扇形 ， 所以当最大时，阴影部分面积最大. ABP S 观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图 2） ，阴影部分的面积S取最大值， 此时BOP=AOP=， 面积S的最大值为=4+SPOB+ SPOA=4+ ABPAOBOAB SSSS 阴影扇形 |OP|OB|sin（）+|OP|OA|sin（）=4+2sin+2sin=4+4 sin，故选 B. 1 2 1 2 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合

9、思想及数学式子变形和运算求解 能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 9【2019 年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且的( )sin()(0,0,| )f xAxA f x 最小正周期为 ，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象 yf x 对应的函数为.若，则 g x2 4 g 3 8 f A2B 2 CD2 2 【答案】C 【解析】为奇函数，； ( )f x(0)sin0,= ,0,fAkkkZ0 的最小正周期为 ， f x 2 ,T 2 1 ( )sinsin , 2 g xAxAx 又， ( )2 4 g2A ，(

10、 )2sin2f xx 3 ()2. 8 f 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质 g x 逐步得出的值即可., ,A 10 【2019 年高考全国卷文数】函数的最小值为_ 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 【答案】4 【解析】 2 3 ( )sin(2)3coscos23cos2cos3cos1 2 f xxxxxxx ， 2 317 2(cos) 48 x ，当时，1cos1x cos1x min ( )4f x 故函数的最小值为 ( )f x 4 【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二

11、倍角的余弦公式，得到 关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而 cosx 1cos1x 简单应用二次函数的性质，出现运算错误 11【2019 年高考全国卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinA+acosB=0，ABC 则B=_. 【答案】 3 4 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 ， 得，sinsinsincos0BAAB(0, ),(0, )ABsin0,A ，即，sincos0BBtan1B 3 . 4 B 【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定理法， 利用转化与化归思想解题本题容易忽视三角形

12、内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边(0,) 为角，结合三角函数的恒等变化求角 12 【2019 年高考江苏卷】已知，则的值是 . tan2 3 tan 4 sin 2 4 【答案】 2 10 【解析】由，得， tan1tantantan2 tan1 tan13 tan 1tan4 2 3tan5tan20 解得，或.tan2 1 tan 3 sin 2sin2 coscos2 sin 444 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos ， 2 2 22tan1tan = 2tan1 当时，上式tan2 2 2 22 2 1 22 = 22110 ；

13、 当时，上式= 1 tan 3 2 2 11 2 () 1 () 22 33 = 1 210 ()1 3 . 综上， 2 sin 2. 410 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨 论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问tan 题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 13 【2019 年高考浙江卷】在中，点在线段上，若ABC90ABC4AB 3BC DAC ，则_，_45BDCBD cosABD 【答案】， 12 2 5 7 2 10 【解析】如图，在中，由正弦定理有：

14、，而, ABD sinsin ABBD ADBBAC 3 4, 4 ABADB ，所以. 22 5AC=AB +BC = 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC 【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. ABD 14 【2019 年高考全国卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c 已知ABCsinsin 2 AC abA

15、 （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围 【答案】 （1）B=60；（2）. 33 (,) 82 【解析】 （1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由，可得，故 180ABC sincos 22 ACB cos2sincos 222 BBB 因为，故，因此B=60cos0 2 B 1 sin 22 B （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形，故090时，在

16、中，. 1 PPB 1 15PBPB 由上可知，d15. 再讨论点Q的位置. 由 （ 2） 知 ， 要 使 得QA15， 点Q只 有 位 于 点C的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 .当QA=15时 ， .此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 2222 1563 21CQQAAC 综上， 当PBAB， 点Q位于点C右侧， 且CQ=时，d最小， 此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+. 3 213 21 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）. 3 21 解法二：解法二： （1）如图，过O作OHl，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴

17、，建立平面直角坐标系. 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为. 3 4 因为PBAB，所以直线PB的斜率为， 4 3 直线PB的方程为. 425 33 yx 所以P（13，9），. 22 ( 134)(93)15PB 因此道路PB的长为15（百米）. （2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=490时，在中，. 1 PPB 1 15PBPB 由上可知，d15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA15

18、，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由 ，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所 22 (4)(93)15(4)AQaa43 2143 21 有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离 43 21 .43 21( 13)173 21PQ 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）. 173 21 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学 建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 19 【2019 年高考浙江卷】设函数.( )sin ,

19、f xx xR （1）已知函数是偶函数，求的值；0,2 ),()f x （2）求函数的值域 22 () () 124 yf xf x 【答案】（1）或；（2） 2 3 2 33 1,1 22 【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，()sin()f xxsin()sin()xx 即，sin coscos sinsin coscos sinxxxx 故，2sin cos0x 所以cos0 又，因此或0,2) 2 3 2 （2） 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1 cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2

20、 23 x 因此，函数的值域是 33 1,1 22 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 20 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点，则(2 1)P ，cos2 AB 2 2 3 1 3 CD 1 3 2 2 3 【答案】B 【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点， x (2 1)P ， 所以， 26 cos 32 1 因此.故选 B. 2 1 cos22cos1 3 【名师点睛】 本题主要考查三角函数的定义， 以及二倍角公式， 熟记三角函数的

21、定义与二倍角公式即可， 属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得 (2 1)P ， cos 出结果. 21 【四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试数学试题】已知，则 4 cos 5 ,0 tan 4 AB7 1 7 CD 1 7 7 【答案】C 【解析】， 4 cos,0 5 a , 2 ， 33 sin,tan 54 则.故选 C tan1 tan 41tan 3 1 1 4 3 7 1 4 【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题解答 本题时，根据已知的值，结合同角三角函数关系式可求 tan，然后根据两角

22、差的正切公式即可求 cos 解 22 【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学文试题】已知函数的相 ( )sin() 6 f xx(0) 邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则 2 6 ( )g x( )g x AB sin() 3 x sin(2) 3 x CDcos2x cos(2) 3 x 【答案】C 【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，所 ( )sin()(0) 6 f xx 2 22 T T 以，解得， 2 2 将函数的图象向左平移个单位， ( )sin(2) 6 f xx 6 得到的图象，故选 C ( )sin2()sin 2co

23、s2 6636 g xxxx 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型解答本题时，首先利用函数的图象求 出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果 23 【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学试题】已知函数， sinf xAx 的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为 0,0, 2 A 0f axf axa AB 12 6 CD 4 3 【答案】B 【解析】由图象易知，即，且，即，2A (0)1f2sin1 2 6 由图可知，所以，即， 11 ()0, 12 f 1

24、111 sin()0, 126126 kkZ 122 , 11 k k Z 又由图可知，周期，且， 1121124 , 121211 T 0 所以由五点作图法可知，2,2k 所以函数， ( )2sin(2) 6 f xx 因为，所以函数关于对称，0f axf ax( )f x xa 即有，所以可得， 2, 62 akkZ , 26 k akZ 所以的最小正值为. a 6 故选 B. 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关 键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由, ,A ( )f x 易知的图象关于对称，即可求得a的值

25、.0f axf ax( )f x xa 24 【山东省实验中学等四校 2019 届高三联合考试数学试题】在中，分别为角，ABC a b c AB 的对边，若的面积为，且，则CABCS 2 2 4 3Sabc sin 4 C A1B 2 2 CD 62 4 62 4 【答案】D 【解析】由，得， 2 2 4 3Sabc 222 1 4 3sin2 2 abCabcab ， 222 2cosabcabC2 3sin2cos2abCabCab 即，即，则，3sincos1CC 2sin1 6 C 1 sin 62 C ，即，0C 5 666 C 66 C 3 C 则， sinsinsincoscos

26、sin 4343434 C 321262 22224 故选 D 【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利C 用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定 理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可C 25 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角，的对边ABCABC 分别为，若，则角 a b c 1a 3sincos( 3sin)cos0ACCbAA AB 2 3 3 CD 6 5 6 【答案】D 【解析】，1a 3sincos( 3sin)cos0ACCb

27、A ，3sincos3sincoscosACCAbA ，3sin()3sincosACBbA ，3 sincosaBbA 由正弦定理可得：，3sinsinsincosABBA ，即，sin0B 3sincosAA 3 tan 3 A ，.故选 D(0,)A 5 6 A 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题解答本 题时，由，可得，再由正弦定理得到3sincos( 3sin)cos0ACCbA3 sincosaBbA ，结合，即可求得的值 3 tan 3 A (0,)A A 26 【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在中，、分别是

28、内角、ABC a b c AB 的对边，且.C3 cossin( coscos)bAA aCcA （1）求角的大小；A （2）若，的面积为，求的周长2 3a ABC 5 3 4 ABC 【答案】 （1）；（2）. 3 A 5 3 【解析】 （1），3 cossin( coscos)bAA aCcA 由正弦定理可得： ，3sincossin(sincossincos)BAAACCAsinsin()sinsinAACAB 即，3sincosBAsinsinAB ，sin0B ，tan3A ，(0,)A 3 A （2），的面积为， 3 A 2 3a ABC 5 3 4 ， 135 3 sin 244

29、 bcAbc ，5bc 由余弦定理可得：， 222 2cosabcbcA 即，解得：， 2222 12()3()15bcbcbcbcbc3 3bc 的周长为.ABC2 33 35 3abc 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解 三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 （1） 由正弦定理， 两角和的正弦函数公式化简已知等式可得， 由，3sincossinsinBAABsin0B 可求，结合，可求tan3A (0,)A 3 A （2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的周5bc 3 3bcABC 长的值 2

30、7【北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习 （二模） 数学试题】 已知函数. 1 (=cos ( 3sincos )+ 2 f xxxx） （1）求的值； ( ) 3 f （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 0, 2 x( )2cf xcc 【答案】 （1）1；（2）. 1 ( 1,) 2 【解析】 （1） 2 1 (= 3sincoscos+ 2 f xxxx） 31 =sin2cos2 22 xx ， =sin(2) 6 x 所以. ( )1 3 f （2）因为， 0 2 x 所以， 5 2 666 x 所以. 1 sin 2 26 x （） 1 由不等式恒成立，得，解得.( )2cf xc 1 2 21 c c 1 1 2 c 所以实数的取值范围为. c 1 ( 1,) 2 【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. （1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可； （2）首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c的不等式组，求 f x 0, 2 解不等式组可得c的取值范围.