2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题08数列文（含解析）.pdf

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1、专题 08 数列专题 08 数列 1 【2019 年高考全国 III 卷文数】 已知各项均为正数的等比数列的前 4 项和为 15， 且， n a 531 34aaa 则 3 a A16B8 C4D2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列an的公比为，则， q 23 1111 42 111 15 34 aa qa qa q a qa qa 解得，故选 C 1 1, 2 a q 2 31 4aa q 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2 【2019 年高考浙江卷】设a，bR R，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则n N A当B当 10 1 ,10

2、 2 ba 10 1 ,10 4 ba C当D当 10 2,10ba 10 4,10ba 【答案】A 【解析】当b=0 时，取a=0，则.0, n an N 当时，令，即.0，求使得Snan的n的取值范围 【答案】 （I）；（II）.210 n an 110()nn N 【解析】（I）设的公差为d n a 由得 95 Sa 1 40ad 由a3=4得 1 24ad 于是 1 8,2ad 因此的通项公式为 n a102 n an （II）由（I）得，故. 1 4ad (9) (5) , 2 nn n nd and S 由知，故等价于，解得1n10 1 0a 0d nn Sa 2 1110 0nn

3、 所以n的取值范围是 |110,nnn N 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求 和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 7【2019 年高考全国 II 卷文数】已知是各项均为正数的等比数列，. n a 132 2,216aaa （I）求的通项公式； n a （II）设，求数列的前n项和 2 log nn ba n b 【答案】 （I）；（II）. 21 2 n n a 2 n Sn 【解析】 （I）设的公比为q，由题设得 n a ，即 2 2416qq 2 280qq 解得（舍去）或q=42q 因此的通

4、项公式为 n a 121 2 42 nn n a （II）由（I）得，因此数列的前n项和为 2 (21)log 221 n bnn n b 2 1 321nn 【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等 差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题. 8 【2019 年高考北京卷文数】设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列 （）求an的通项公式； （）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值 【答案】 （）；（）当或者时，取到最小值.212 n an5n 6n n S30 【解析】 （）设的公差

5、为 n ad 因为， 1 10a 所以 234 10,102 ,103ad ad ad 因为成等比数列， 234 10,8,6aaa 所以 2 324 8106aaa 所以 2 ( 22 )( 43 )ddd 解得2d 所以 1 (1) 212 n aandn （）由（）知，212 n an 所以，当时，；当时，7n 0 n a 6n 0 n a 所以，的最小值为 n S 6 30S 【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌 握等差数列的有关公式并能灵活运用. 9 【 2019 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 设是 等 差 数 列 ，是 等

6、比 数 列 ， 公 比 大 于 0， 已 知 n a n b . 112332 3,43abba ba （）求和的通项公式； n a n b （）设数列满足求. n c 2 1 n n n c bn ， 为奇数, ， 为偶数. * 1 12222 () nn a ca ca cnN 【答案】 （I），；（II）3 n an3n n b 22 (21)369 () 2 n nn n N 【解析】 （）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意，得解 n ad n bq 2 332 , 3154 , qd qd 得故. 3, 3, d q 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb 所以

7、，的通项公式为，的通项公式为. n a3 n an n b3n n b （） 1 12222nn a ca ca c 135212 1426 32nnn aaaaa ba ba ba b 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn . 212 36 1 32 33nnn 记 12 1 32 33n n Tn , 则 231 31 32 33n n Tn , 得，. 1 2311 3 1 3 (21)33 233333 1 3 32 n n nnn n n Tnn 所以， 1 22 1 12222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnT

8、n . 22 (21)369 2 n nn n N 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列 n 求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 10 【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. （I）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列” ；()n N 245132 ,440a aa aaa （II）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和()n N 1 1 122 1, nnn b Sbb 求数列bn的通项公式； 设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有()n N

9、1kkk cbc 成立，求m的最大值 【答案】 （I）见解析；（II）bn=n；5. * nN 【解析】解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0. 由，得，解得 245 321 440 a aa aaa 244 11 2 111 440 a qa q a qa qa 1 1 2 a q 因此数列为“M数列”. n a （2）因为，所以 1 122 nnn Sbb 0 n b 由，得，则. 111 1,bSb 2 122 11b 2 2b 由，得， 1 122 nnn Sbb 1 1 2() nn n nn b b S bb 当时，由，得，2n 1nnn bSS 11 11 22 n

10、nnn n nnnn b bbb b bbbb 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列bn的通项公式为bn=n. * nN 由知，bk=k，. * kN 因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0. 因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m. 1kk qkq 当k=1时，有q1； 当k=2，3，m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设f（x）=，则 ln (1) x x x 2 1 ln ( ) x f x x 令，得x=e.列表如下：( )0f x x (1,e) e(e，+) ( )f x +0 f（x）极大

11、值 因为，所以 ln2ln8ln9ln3 2663 max ln3 ( )(3) 3 f kf 取，当k=1，2，3，4，5时，即， 3 3q ln ln k q k k kq 经检验知也成立 1k qk 因此所求m的最大值不小于5 若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5 【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转 化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力 11 【2019 年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个 n

12、a n S 3 4a 43 aS n b 成等比数列 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N （I）求数列的通项公式；, nn ab （II）记证明：, 2 n n n a cn b N 12+ 2,. n cccn n N 【答案】 （I），；（II）证明见解析.21 n an1 n bn n 【解析】 （I）设数列的公差为d，由题意得 n a ， 111 24,333adadad 解得 1 0,2ad 从而 * 22, n annN 所以， 2* n SnnnN， 由成等比数列得 12 , nnnnnn Sb Sb Sb 2 12nnnnnn SbSbSb 解得 2 12 1 nn

13、nn bSS S d 所以 2* , n bnn nN （II） * 221 , 22 (1)(1) n n n ann cn bn nn n N 我们用数学归纳法证明 （i）当n=1时，c1=02，不等式成立； （ii）假设时不等式成立，即 * nk kN 12 2 k ccck 那么，当时，1nk 121 1 22 (1)(2)1 kk k cccckk kkk 2 222(1)21 1 kkkkk kk 即当时不等式也成立1nk 根据（i）和（ii），不等式对任意成立 12 2 n cccn * nN 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运

14、算 求解能力和综合应用能力. 12 【四川省峨眉山市 2019 届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，是方程 n a 3 a 9 a 的两根，则数列的前 11 项和等于 2 24120xx n a A66B132 C66D 32 【答案】D 【解析】因为，是方程的两根， 3 a 9 a 2 24120xx 所以， 39 24aa 又，所以， 396 242aaa 6 12a ，故选 D. 6111 11 11 211 () 132 22 aaa S 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题. 13 【四川省百校 2019 年高三模拟冲刺卷数学试题】定

15、义在上的函数满足 ： 当时，0, + ) f(x) 0 x 2f ；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为(x) = 2x -x2x 2f(x) = 3f(x - 2) f(x) a1 ,a 2,an 并记相应的极大值为则的值为,b1 ,b 2,bn, a1b1+ a2b2+ + a20b20 AB19 320+ 119 319+ 1 CD20 319+ 120 320+ 1 【答案】A 【解析】由题意当时，极大值点为 1，极大值为 1，0 x 2 22 ( )2(1)1f xxxx , 当时，.则极大值点形成首项为 1 公差为 2 的等差数列， 极大值形成首项为x 2( )32f xf x

16、 1 公比为 3 的等比数列， 故.,故，an= 2n - 1 ,bn=3n - 1anbn= (2n - 1)3n - 1 设S=，a1b1+ a2b2+ + a20b20= 1 1 + 3 31 + 5 3 2 + + 39 319 3S=， 1 3 1 + 3 3 2 + + 39 320 两式相减得-2S=1+2()-31+32+ +319320= 1 + 2 3(1 - 319) 1 - 3 - 39 320=- 2 - 38 320 S=，19 320+ 1 故选：A. 【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是anbn 中档题. 1

17、4【 福 建 省 2019 届 高 三 毕 业 班 质 量 检 查 测 试 数 学 试 题 】 数 列中 ， 且 an a1= 2 ，则数列前 2019 项和为 1 1 2(2) nn nn n aan aa 1 (an- 1)2 ABCD 4036 2019 2019 1010 4037 2019 4039 2020 【答案】B 【解析】：，an+ an - 1= n an- an - 1 + 2（n 2） ， 22 11 2 nnnn aaaan 整理得：，(an- 1)2-(an - 1- 1)2= n ，又，(an- 1)2-(a1- 1)2= n + (n - 1) + + 2a1=

18、 2 ，(an- 1)2= n(n + 1) 2 可得： 1 (an- 1)2 = 2 n(n + 1) = 2( 1 n - 1 n + 1) 则数列前 2019 项和为： 1 (an- 1)2 2(1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 2019 - 1 2020) = 2(1 - 1 2020) = 2019 1010 故选：B 【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化 能力与计算能力，属于中档题 15 【内蒙古 2019 届高三高考一模试卷数学试题】 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题 ： “衰分” 是按比例递减分配的意思

19、,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比” 如 ： 甲、乙、丙、丁“哀”得,100 ,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,603621.640% (0)m m 已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为80164 m A B 20%36980%369 C D 40%36060%365 【答案】A 【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石, a b 由题意得, 2 3 (1)80 (1)(1)164 80 164 ba baba bm 解得,125b 20%a 369m 故选 A 【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时

20、要认真审题,注意等比数列 的性质的合理运用 16 【山东省德州市 2019 届高三第二次练习数学试题】设数列的前n项和为，已知， n a n S 12 12aa， 且，记，则数列的前 10 项和为_ 21 23 nnn aSS 22122 loglog nnn baa 2 1 n n b 【答案】200 【解析】，且， 12 12aa， 21 23 nnn aSS ， 3 2332a ， 21 23 nnn aSS 时，2n 11 23 nnn aSS 两式相减可得， （） 2111 2 nnnnnn SaaSSS 2n 即时，即，2n 211 2 nnnn aaaa 2 2 nn aa ，

21、31 2aa 数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为 2， n a ， 1 2 2 22 nn n a 11 21 1 22 nn n a ， 22122 loglog121 nnn baannn 则数列，则的前 10 项和为 2 2 1211 nn n bn 2 1 n n b 222222 31751917S 24 12202836 .200 故答案为 200. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及 数列的求和方法的应用，属于中档题. 17 【 广 东 省 深 圳 市 高 级 中 学 2019 届 高 三 适 应 性 考 试 （ 6

22、 月 )数 学 试 题 】 在 数 列中 ， n a ，则的值为_ 11 11 ,(*) 2019(1) nn aaanN n n 2019 a 【答案】1 【解析】因为 1 1 ,() (1) nn aan n n N 所以， 1 111 (1)1 nn aa n nnn 21 1 1, 2 aa 32 11 , 23 aa , . , 20192018 11 20182019 aa 各式相加，可得 ， 20191 1 1 2019 aa ， 2019 11 1 20192019 a 所以，故答案为 1. 2019 1a 【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推

23、关系求数列中的项常见 思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、 等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解. 18 【2019 北京市通州区三模数学试题】设是等比数列，且，则的通项公式 n a 245 a aa 4 27a n a 为_ 【答案】，. 1 3 n n a n N 【解析】设等比数列的公比为， n a q 因为， 245 a aa 4 27a 所以，解得，所以， 223 5 42 4 27 a aa a qqq3q 4 1 3 27 1 27 a a q 因此，. 1 3 n n a n

24、 N 故答案为，. 1 3 n n a n N 【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 19 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为，等 n an n S 比数列的前项和为若， n bn n T 11 3ab 42 ab 42 12ST （I）求数列与的通项公式； n a n b （II）求数列的前项和 nn abn 【答案】 （I）；（II）.21,3n nn anb 3 31 (2) 2 n n n 【解析】 （I）由， 11 ab 42 ab 则， 4212341223 ()()12STaaa

25、abbaa 设等差数列的公差为，则，所以. n ad 231 236312aaadd2d 所以.32(1)21 n ann 设等比数列的公比为，由题，即，所以. n b q 24 9ba 21 39bbqq3q 所以；3n n b （II），(21)3n nn abn 所以的前项和为 nn abn 1212 ()() nn aaabbb . 2 (3521)(333 ) n n (321)3(13 ) 213 n nn 3(31) (2) 2 n n n 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型. n 20 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月

26、诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是 1，且， n a 1 a 3 a 9 a 成等比数列 （I）求数列的通项公式； n a （II）求数列的前项和 2 n n a a n n T 【答案】 （I）；（II）. n an 2 2 2 n n n T 【解析】 （I）因为是公差为 1 的等差数列，且，成等比数列， n a 1 a 3 a 9 a 所以，即，解得. 2 319 aa a 2 111 (2)(8)aa a 1 1a 所以. 1 (1) n aandn （II）， 123 1111 123 2222 n n Tn ， 231 11111 12(1) 22222 nn n Tnn 两

27、式相减得， 1231 111111 222222 nn n Tn 所以. 1 1 1 11 11122 1 1 2222 1 2 n n n nn n Tn 所以. 2 2 2 n n n T 【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力， 属于常考题型 21 【安徽省 1 号卷 A10 联盟 2019 年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且 n a 63 6aa 3 1a 是的等比中项. 24 1,aa （I）求数列的通项公式； n a （II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值 1 1 n nn bn a a N n b n T1

28、 n T n 【答案】 （I）.（II）8.21 n an 【解析】 （I）设等差数列的公差为， n ad ，即， 63 36aadQ2d ， 31 13aa 21 11aa 41 6aa 是，的等比中项， 3 1a Q 2 1a 4 a ，即，解得. 2 324 11aaa 2 111 +3=16aaa 1 3a 数列的通项公式为. n a21 n an （II）由（I）得. 1 11111 21232 2123 n nn b a annnn 12 1 2 nn Tbbb 111111 35572123nn ， 1 11 2 3233 23 n nn 由，得. 1 3 237 n n 9n

29、使得成立的最大正整数的值为.1 n T n8 【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 22【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】 已知数列满足 ：， n a1 n a 1 1 2 n n an a N 数列中，且，成等比数列. n b 1 1 n n b a 1 b 2 b 4 b （I）求证：数列是等差数列； n b （II）若是数列的前项和，求数列的前项和. n S n bn 1 n S n n T 【答案】 （I）见解析；（II）. 2 1 n n 【解析】 （I）， 1 1 1111 1 111 21 nn nnn n bb aaa a 1 1 11 n nn a aa 数列是公差为 1 的等差数列； n b （II）由题意可得，即， 2 21 4 bbb 2 111 13bbb 所以，所以， 1 1b 1 n b ， (1) 2 n n n S 1211 2 (1)1 n Sn nnn . 11111 21 2231 n T nn 12 21 11 n nn 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法 求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.