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1、第三节 函数的奇偶性与周期性 2019 考纲考题考情 1函数的奇偶性 奇偶 性 条件图象特点 偶函 数 对于函数 f(x)的定义域 D 内任意一个 x， 都有 f(x)f(x) 关于y轴对 称 奇函 数 对于函数 f(x)的定义域 D 内任意一个 x， 都有 f(x)f(x) 关于原点 对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T， 使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称 函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期。 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f
2、(x)的最小正周期。 1一条规律 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。函数的定义域关 于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 2两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0。 (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共 定义域上 ： 奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶， 奇偶奇。 3函数周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x， (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0)。 (2)若 f(xa)，则 T2a(a0)。 1 fx (3)若 f(xa)，则 T2a(a0)。 1 fx 一、走进教材 1(必修 1P35例
3、 5 改编)下列函数中为偶函数的是( ) Ayx2sinxByx2cosx Cy|lnx|Dy2x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)f(x)且定义 域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定 义域为(0，)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是 偶函数。故选 B。 答案 B 2(必修 4P46A 组 T10改编)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)Error!Error!则 f_。 ( 3 2) 解析 由题意得，f f 4 221。 ( 3 2) ( 1 2) ( 1 2) 答案 1 二、走近高考 3(2017全国卷
4、)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_。 解析 依题意得，f(2)2(2)3(2)212，由函数 f(x)是奇函数，得 f(2)f(2)12。 答案 12 4 (2017山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且 f(x 4)f(x2)。 若当 x3,0时， f(x)6x， 则 f(919)_。 解析 因为f(x4)f(x2)， 所以f(x)的周期为6， 因为919 15361， 所以f(919)f(1)。 又f(x)为偶函数， 所以f(919)f(1) f(1)6。 答案 6 三、走出误区 微提醒：利用奇偶性求解析式忽
5、视定义域；忽视奇函数 的对称性致错。 5 设函数f(x)是定义在R上的奇函数， 且当x0时， f(x)x2 4x3，则函数 f(x)的解析式为 f(x)_。 解析 设x0， 所以f(x)f(x)(x)24( x)3x24x3，由奇函数的定义可知 f(0)0，所以 f(x) Error!Error! 答案 Error!Error! 6设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的 图象如图所示，则不等式 f(x)0；当 20。综上，f(x)022 时，f(x)log2x，所以 f()log2 ，即 f() 。22 1 2 2 1 2 (2)f(x)2， 设 g(x)， 因为 g
6、(x) 22|x|1x3 2|x|1 x3 2|x|1 x3 2|x|1 定义域为 R，关于原点对称，且 g(x)g(x)，所以 g(x)为奇 函数， 所以 g(x)maxg(x)min0。 因为 Mf(x)max2g(x)max， m f(x)min2g(x)min，所以 Mm2g(x)max2g(x)min4。 答案 (1)B (2)C 将所求值转化为已知区间上的函数值。 方向 2：利用奇偶性求参数的值 【例 4】 若函数 f(x)x3为偶函数， 则 a 的值为 ( 1 2x1a) _。 解析 因为函数 f(x)x3为偶函数， 所以 f(x) ( 1 2x1a) f(x)， 即 ( x)3
7、 x3， 所 以 2a ( 1 2x1a) ( 1 2x1a) ，所以 2a1，解得 a 。 ( 1 2x1 1 2x1) 1 2 解析：因为函数 f(x)x3为偶函数，所以 f(1) ( 1 2x1a) f(1)，所以(1)313，解得 a ， ( 1 211a) ( 1 211a) 1 2 经检验，当 a 时，函数 f(x)为偶函数。 1 2 答案 1 2 已知函数的奇偶性求参数， 主要方法有两个 ： 一是利用 f(x) f(x)(奇函数)或 f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解； 二是利用特殊值求解，奇函数一般利用 f(0)0 求解，偶函数一 般利用 f(1)f(1)求解。 用
8、特殊值法求得参数后， 一定要注意验 证。 方向 3：函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用 【例 5】 定义在 R 上的函数 f(x)满足 ： 对任意 xR 有 f(x 4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于 y 轴 对称。则下列结论正确的是( ) Af(7)f(2x 1 1x2 1)成立的 x 的取值范围是( ) A(1 3，1) B(1，) (， 1 3) C(1 3， 1 3) D (， 1 3) ( 1 3，) 【解析】 易知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为偶函数。 当 x0 时，f(x)ln(1x)，易知此时 f(x)单调递增。所以 1 1x2 f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2x1|，解得 0( ) Ax|x4 Bx|x4 Cx|x6 Dx|x2 解析 由f(x)x38， 知f(x)在0， )上单调递增， 且f(2) 0。 所以， 由已知条件可知 f(x2)0f(|x2|)f(2)。 所以|x2|2， 解得 x4。故选 B。 答案 B