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1、第二节 函数的单调性与最值 2019 考纲考题考情 1增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区 间 D 上是增函数。 (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区 间 D 上是减函数。 2单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说 函数yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性， 区间D叫
2、做yf(x) 的单调区间。 3函数的最大值与最小值 一般地， 设函数 yf(x)的定义域为 I， 如果存在实数 M 满足 ： (1)对于任意的xI， 都有f(x)M； 存在x0I， 使得f(x0)M， 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值。 (2)对于任意的xI， 都有f(x)M； 存在x0I， 使得f(x0)M， 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最小值。 4函数单调性的两个等价结论 设x1，x 2D(x1x 2)，则 (1)0(或0)f(x)在 D 上单 fx1fx2 x1x2 (x 1x2)fx1fx2 调递增。 (2)0)的递增区间为(， 和， a x aa )；递减区间为
3、，0)和(0，且对勾函数为奇函数。aa 6函数单调性常用结论 函数单调性的常用结论 1若 f(x)，g(x)均为区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)g(x)也 是区间 A 上的增(减)函数。 2若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同 ； 若 k0或f(x)f(0)对任意的 x(0,2都 成立， 则f(x)在0,2上是增函数” 为假命题的一个函数是_。 解析 这是一道开放性试题， 答案不唯一。 只要满足 f(x)f(0) 对任意的 x(0,2都成立，且函数 f(x)在0,2上不是增函数即可。 如 f(x)sinx，答案不唯一。 答案 f(x)sinx(答案不唯一) 三、走出误区 微提
4、醒 ： 单调性判断出错致误 ； 对称轴讨论出错致误 ； 不会结合函数的图象致误。 5函数 f(x)x 在上的最大值是( ) 1 x 2， 1 3 A B 3 2 8 3 C2 D2 解析 易知 f(x)在上是减函数，所以 f(x)maxf( 2， 1 3 2)2 。故选 A。 1 2 3 2 答案 A 6如果二次函数 f(x)3x22(a1)xb 在区间(，1)上 是减函数，那么 a 的取值范围是_。 解析 二次函数的对称轴方程为 x，由题意知 a1 3 1，即 a2。 a1 3 答案 (，2 7若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则 a 的 值为_。 解析 由图象(图略)易知函
5、数 f(x)|2xa|的单调递增区间 是，令 3，得 a6。 a 2，) a 2 答案 6 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例 1】 (1)(2019山西晋城一模)已知函数 f(x)loga(x2 2x3)(a0 且 a1)，若 f(0)0，可得 30，x110 时， f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(1,1) 上单调递减； 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增。 1求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调 区间，如例 1(1)。 2(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法； 利用已知函数的单调性；导数法。 (2)
6、函数 yf(g(x)的单调性应根据外层函数 yf(t)和内层函 数 tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则。 【变式训练】 (1)(2019辽宁师大附中模拟)下列函数中， 既 是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( ) Ayx Byex Cy |x| Dyln|x| ( 1 2) (2)判断并证明函数 f(x)ax2 (其中 10,20， 1 x1x2 从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)， 故当 a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。 考点二 函数的最值 【例 2】 (1)函数 f(x) xlog2(x2)在区间1,1上的 ( 1 3) 最大值为_。 (2
7、)已知函数 f(x)Error!Error!则 f(x)的最小值是_。 解析 (1)由于 y x在 R 上单调递减， ylog2(x2)在 ( 1 3) 1,1上单调递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f(x)在1,1 上的最大值为 f(1)3。 (2)当 x1 时，f(x)min0，当 x1 时，f(x)min26，当6 且仅当 x时取到最小值， 又 260， x x1 1 x1 易知 f(x)在2， )上是减函数， 所以 f(x)maxf(2)12。 1 21 (2)在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的 图象如图所示。易知点 A(2,1)为图象的最高点
8、，因此 h(x)的最大 值为 h(2)1。 解析：依题意，h(x)Error!Error!当 02 时，h(x)3x 是减函数，所以 h(x)在 x2 时取得 最大值 h(2)1。 答案 (1)2 (2)1 考点三 函数单调性的应用微点小专题 方向 1：比较大小 【例 3】 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 解析 由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象 关于 y 轴对称，故函数 yf(x)的图象本身关于直线 x1 对称， 所以 aff。当 x2x11 时，f(
9、x2)f(x1)(x2x1)ac。故 选 D。 答案 D 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一单调区间内，然 后利用单调性解决。 方向 2：解不等式 【例 4】 已知奇函数 f(x)在 x0 时单调递增，且 f(1)0， 若 f(x1)0，则 x 的取值范围为( ) Ax|02 Bx|x2 Cx|x3 Dx|x1 解析 因为奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0， 所以函数 f(x)在(，0)上单调递增，且 f(1)0，则11时， f(x)0； x0 即11，解得 02。故选 A。 答案 A 利用函数的单调性将 “f”符号脱掉， 转化为具体的不等式求解， 应注意函数的定义域。
10、方向 3：求参数范围 【例 5】 (2019江西南昌一模)设函数 f(x)Error!Error!若 f(1) 是 f(x)的最小值，则实数 a 的取值范围为( ) A1,2) B1,0 C1,2 D1，) 解析 函数 f(x)Error!Error!若 x1， 则 f(x)x12， 易知 y2|x a|在(a，)上单调递增，在(，a)上单调递减，若 a1 的 x 的取值范围是_。 解析 画出函数 f(x)的大致图象如图， 易知函数 f(x)在(， )上单调递增。又 xx1，且 x(x1)1，f(0)1，所以 要使 f(x)f(x1)1 成立， 则结合函数 f(x)的图象知只需 x1 1，解得
11、 x0。故所求 x 的取值范围是(0，)。 答案 (0，) 4 (方向 3)设函数 f(x)Error!Error!若函数 yf(x)在区间(a， a1) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是_。 解析 作函数 f(x)的图象如图所示， 由图象可知 f(x)在(a， a 1)上单调递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4。 答案 (，14，) 求函数最值的常用方法 一、单调性法 【典例 1】 函数 f(x)Error!Error!的最大值为_。 【解析】 当 x1 时， 函数 f(x) 为减函数， 所以 f(x)在 x 1 x 1 处取得最大值，即 f(1)1； 当 x2 时，ymi
12、nf(a)a22。 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范 围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系。如本题化为含 参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位 置关系，然后再根据不同情况分类解决。 四、换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法， 以便将复杂的函数最值 问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值。如可 用三角代换解决形如 a2b21 及部分根式函数形式的最值问 题。 【 典 例 4】 (1)函 数 f(x) x 2的 最 大 值 为1x _。 【解析】 设t(t0)， 所以 x1t2。 所
13、以 yf(x)1x x21t22tt22t1(t1)22。 所以当 t11x 即 x0 时，f(x)max2。 【答案】 2 (2)求函数 yx的值域。4x2 【解】 换元法：由 4x20，得2x2， 所以设 x2cos(0，)， 则 y2cos2cos2sin44cos2 2cos，2 ( 4) 因为 ， 4 4， 5 4 所以 cos，所以 y2，2。 ( 4) 1， 2 2 2 换元法方式很多，常见的有常量代换和三角换元。 五、数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方 法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法。 【典例 5】 对 a， bR， 记 maxa， bError!Error!函数 f(x) max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_。 【解析】 由|x1|x2|， 得(x1)2(x2)2。 所以 x 。 1 2 所以 f(x)Error!Error! 其图象如图所示。 由图象易知， 当 x 时， 函数有最小值， 所以 f(x)minf 1 2 ( 1 2) 。 | 1 21| 3 2 【答案】 3 2 本题画出 y|x1|与 y|x2|的图象，找出 f(x)的图象是解 题关键。