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1、第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程 2019 考纲考题考情 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正 向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0。 (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，180)。 2直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角 不是 90，则斜率 ktan；若 直线的倾斜角 90，则斜率不存在。 (2)计算公式 ： 若由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k。(x1x2) y2y1 x2x1 3直线方程的五
2、种形式 名称条件方程适用范围 点斜式斜率 k 与点(x0， y0)yy0k(xx0)不含直线 xx0 斜截式斜率 k 与截距 bykxb 不含垂直于x轴的 直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2， y2) yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线 xx1(x1 x2)和直线 y y1(y1y2) 续表 名称条件方程适用范围 截距式 截距 a 与 b 1(ab0) x a y b 不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 一般式 AxByC0(A2 B20) 平面直角坐标系内的 直线都适用 1直线倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。 (2)不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，
3、因为 ktan，当 时， 越大，斜率 k 就越大，同样 时也是如此， 0， 2) ( 2，) 但当 0，)且 时就不是了。 2 2截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数。应注意过原点的特殊情况 是否满足题意。 一、走进教材 1(必修 2P86练习 T3)若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的 斜率等于 1，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 解析 由题意得1，解得 m1。 m4 2m 答案 A 2(必修 2P100A 组 T9改编)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距 相等的直线方程为_。 解析
4、 当截距为 0 时， 直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为 1，则 1，解得 a5，所以直线 x a y a 2 a 3 a 方程为 xy50。 答案 3x2y0 或 xy50 二、走近高考 3 (2017浙江高考)如图， 已知抛物线 x2y， 点 A， B ( 1 2， 1 4) ，抛物线上的点 P(x，y)，过点 B 作直线 AP ( 3 2， 9 4) ( 1 2 0， C A 在 y 轴上的截距 0，故直线经过第一、二、四象限，不经过 C B 第三象限。 答案 C 6过直线 l： yx 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴 围 成 的 三 角
5、 形 的 面 积 为 2， 则 直 线 m 的 方 程 为 _。 解析 若直线 m 的斜率不存在， 则直线 m 的方程为 x2， 直线 m，直线 l 和 x 轴围成的三角形的面积为 2，符合题意； 若直线m的斜率k0， 则直线m与x轴没有交点， 不符合题意 ； 若直线m的斜率k0， 设其方程为y2k(x2)， 令y0， 得x 2 ，依题意有 22，即1，解得 k ， 2 k 1 2 |2 2 k| |1 1 k| 1 2 所以直线 m 的方程为 y2 (x2)， 即 x2y20。 综上可知， 1 2 直线 m 的方程为 x2y20 或 x2。 答案 x2y20 或 x2 考点一 直线的斜率与倾
6、斜角 【例 1】 (1)直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围 是( ) A B 0， 4 3 4 ，) C D 0， 4 ( 2，) 4， 2) 3 4 ，) (2)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(1,1)和 Q(2,2)，若 直线 l：mxy10 与线段 PQ 有交点，则实数 m 的取值范围 是_。 解析 (1)由直线方程可得该直线的斜率为， 又1 1 a21 0，b0，因为直线 l 过 x a y b 点 M(2,1)， 所以 1， 则 1 2， 故 ab8， 故 SAOB 2 a 1 b 2 a 1 b 2 ab 的最小值为 ab 84， 当且仅当 时取等号， 此时 a
7、1 2 1 2 2 a 1 b 1 2 4，b2，故直线 l： 1，即 x2y40。 x 4 y 2 (2)直线 l1可写成 a(x2)2(y2)， 直线 l2可写成 2(x2) a2(2y)， 所以直线l1， l2恒过定点P(2,2)， 直线l1的纵截距为2a， 直线 l2的横截距为 a22， 所以四边形的面积 S 2(2a) 1 2 2(a22)a2a4 2 。当 a 时，面积最小。 1 2 (a 1 2) 15 4 1 2 答案 (1)x2y40 (2)1 2 与直线方程有关的最值问题的解题思路 1借助直线方程，用 y 表示 x 或用 x 表示 y。 2将问题转化成关于 x(或 y)的函
8、数。 3利用函数的单调性或基本不等式求最值。 【变式训练】 (1)当 k0 时，两直线 kxy0,2xky2 0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值为_。 (2)(2019苏北四市模拟)已知 a， b 为正数， 且直线 axby6 0 与直线 2x(b3)y50 平行，则 2a3b 的最小值为 _。 (3)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2的取值范围是 _。 解析 (1)直线 2xky20 与 x 轴交于点(1,0)。由Error!Error! 解得 y，所以两直线 kxy0,2xky20 与 x 轴围成 2k k22 的三角形的面积为 1，又 k 22 1 2 2k k22 1 k2
9、 k 2 k k2 k 2 (当且仅当 k时取等号)，故三角形面积的最大值为。2 2 4 (2)由两直线平行可得， a(b3)2b0， 且 5a120， 即 2b 3aab， 1。又 a，b 为正数，所以 2a3b(2a3b) 2 a 3 b 1313225，当且仅当 ab5 时 ( 2 a 3 b) 6a b 6b a 6a b 6b a 取等号，故 2a3b 的最小值为 25。 (3)由已知可得， y1x， 代入 x2y2， 得 x2y2x2(1x)2 2x22x12 2 ，x0,1，当 x0 或 x1 时，取 (x 1 2) 1 2 得最大值 1， 当 x 时， 取得最小值 ， 所以 x
10、2y2的取值范围是 1 2 1 2 。 1 2，1 解析：设直线 xy1 与两坐标轴的交点分别为 A(0,1)， B(1,0)， 点P(x， y)为线段AB上一点， 则P到原点O的距离为|PO| ，又|PO|AO|1，所以x2y2 |001| 1212 2 2 2 2 x2y2 1，所以 x2y2的取值范围是。 1 2，1 答案 (1) (2)25 (3) 2 4 1 2，1 Error!Error! 1 (配合例 1 使用)直线 l1与直线 l2交于一点 P， 且 l1的斜率为 ，l2的斜率为 2k，直线 l1，l2与 x 轴围成一个等腰三角形，则正 1 k 实数 k 的所有可能的取值为_。
11、 解析 设直线 l1与直线 l2的倾斜角分别为 ，因为 k0， 所以 ， 均为锐角。 由于直线 l1， l2与 x 轴围成一个等腰三角形， 则有以下两种情况：当 2 时，tantan2，有 ， 1 k 4k 14k2 因为k0， 所以k； 当2时， tantan2， 有2k， 2 4 2 k 1 1 k2 因为 k0，所以 k。故 k 的所有可能的取值为或。2 2 4 2 答案 或 2 4 2 2(配合例 2 使用)(1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的 斜率的 的直线方程； 1 3 (2)求过 A(2,1)，B(m,3)两点的直线 l 的方程。 解 (1)设所求直线的斜率为 k，
12、依题意 k4 。又 1 3 4 3 直线经过点 A(1,3)。 因此所求直线方程为 y3 (x1)， 4 3 即 4x3y130。 (2)当 m2 时，直线 l 的方程为 x2； 当 m2 时，直线 l 的方程为， y1 31 x2 m2 即 2x(m2)ym60。 因为 m2 时，代入方程 2x(m2)ym60， 即为 x2， 所以直线 l 的方程为 2x(m2)ym60。 3(配合例 3 使用)已知点 P 在直线 x3y20 上，点 Q 在直线 x3y60 上， 线段 PQ 的中点为 M(x0， y0)， 且 y0x02， 则 的取值范围是( ) y0 x0 A1 3，0) B(1 3，0) C(1 3，) D(0，) (， 1 3) 解析 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Error!Error!得 x03y020， 即 M(x0， y0)在直线 x3y20 上。 又因为 y0x02， 所以 M(x0， y0)位于直线 x3y20 与直线 xy20 交点的右下部分的 直线上。设两直线的交点为 F，易得 F(2,0)，而 可看作点 M y0 x0 与原点 O 连线的斜率， 数形结合可得 的取值范围为 y0 x0 (， 1 3) (0，)。故选 D。 答案 D