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1、课后限时集训(八) 指数与指数函数课后限时集训(八) 指数与指数函数 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1设a0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( ) a2 a 3 a2 Aa Ba 1 2 5 6 Ca Da 7 6 3 2 C C Error!Error!a 2 a.故选 C. a2 a 3 a2 a2 aa 5 6 7 6 2已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca A A 由 0.20.6,0.41， 并结合指数函数的图像可知 0.40.20.40.6， 即bc.因为a20.2 1，b0.40.21，
2、所以ab.综上，abc. 3函数y(0a1)的图像的大致形状是( ) xax |x| A B C D D D 函数的定义域为x|x0， 所以yError!当x0时， 函数是指数函数， 其底数0a xax |x| 1，所以函数递减；当x0 时，函数图像与指数函数yax(x0)的图像关于x轴对称，函数 递增，所以应选 D. 4若 2x21 x2 ，则函数y2x的值域是( ) ( 1 4) A. B. 1 8，2) 1 8，2 C. D2，) (， 1 8 B B 因 2x21 x2 242x，则x2142x，即x22x30，所以3x1，所以 ( 1 4) 1 8 y2. 5若存在正数x使 2x(x
3、a)1 成立，则a的取值范围是( ) A(，) B(2，) C(0，) D(1，) D D 不等式 2x(xa)1 可变形为xa x .在同一平面直角坐标系中作出直线yxa与y ( 1 2) x 的图像由题意知，在(0，)内， 直线有一部分在y x ( 1 2)( 1 2) 图像的下方 由图可知，a1，所以a1. 二、填空题 6计算： 0 8 Error!_. ( 3 2) 1 3( 7 6) 1 4 4 2 2 原式 Error!12 2 Error!2. ( 2 3) 3 4 1 4 ( 2 3) 7已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)若f(x)在2，)上是增函数，则m的取值范围是 _
4、 (，4 令t|2xm|，则t|2xm|在区间上递增，在区间上递 m 2，)(， m 2 减 而y2t在 R R 上递增， 所以要使函数f(x)2|2xm|在2， )上递增， 则有 2， 即m4， m 2 所以m的取值范围是(，4 8(2019西安八校联考)设函数f(x)Error!则满足f(x)f(x1)1 的x的取值范围是 _ (0，) 画出函数f(x)的大致图像如图，易知函数f(x)在(， )上递增又xx1，且x(x1)1，f(0)1， 所以要使f(x) f(x1)1 成立，则结合函数f(x)的图像知只需x11， 解得x0.故所求x的取值范 围是(0，) 三、解答题 9已知函数f(x)b
5、ax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24) (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式 x x m0 在(，1上恒成立，求实数m的取值范围 ( 1 a)( 1 b) 解 (1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)， 所以Error!所以a24， 又a0， 所以a2，b3. 所以f(x)32x. (2)由(1)知a2，b3， 则x(， 1时， x x m0恒成立， 即m x x 在(， 1 ( 1 2)( 1 3)( 1 2)( 1 3) 上恒成立 又因为y x 与y x均为减函数，所以y x x 也是减函数， ( 1 2)( 1 3)( 1 2)
6、( 1 3) 所以当x1 时，y x x 有最小值 .所以m . ( 1 2)( 1 3) 5 6 5 6 即m的取值范围是. (， 5 6 10已知函数f(x)3(1x2) 1 4x 2x1 (1)若 ，求函数f(x)的值域； 3 2 (2)若函数f(x)的最小值是 1，求实数的值 解 (1)f(x)3 1 4x 2x1 2x 2 x 3(1x2) ( 1 2)( 1 2) 设t x ， ( 1 2) 得g(t)t22t3. ( 1 4 t 2) 当 时，g(t)t23t3 3 2 2 . (t 3 2) 3 4( 1 4 t 2) 所以g(t)maxg， ( 1 4) 37 16 g(t)
7、ming . ( 3 2) 3 4 所以f(x)max，f(x)min ， 37 16 3 4 故函数f(x)的值域为. 3 4， 37 16 (2)由(1)得g(t)t22t3 (t)232， ( 1 4 t 2) 当 时，g(t)ming， 1 4( 1 4) 2 49 16 令1，得 ，不符合，舍去； 2 49 16 33 8 1 4 当 2 时，g(t)ming()23， 1 4 令231，得 ；2( 21 4，不符合，舍去) 当2 时，g(t)ming(2)47， 令471，得 2，不符合，舍去 3 2 综上所述，实数的值为.2 B B 组 能力提升 1设函数f(x)x(exex)，
8、则f(x)( ) A是奇函数，且在(0，)上是增函数 B是偶函数，且在(0，)上是增函数 C是奇函数，且在(0，)上是减函数 D是偶函数，且在(0，)上是减函数 A A f(x)x(exex)x(exex)f(x)， f(x)是奇函数 任取x2x10，则 e x2 e x1 0，e x2x1 1， e x2 e x2 (e x1 e x1 )(e x1 e x1 )0， (1 1 ex1x2) f(x2)f(x1)， f(x)在(0，)上递增，故选 A. 2设函数f(x)Error!则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是( ) A. B0,1 2 3，1 C. D1，) 2 3，) C
9、C 令f(a)t，则f(t)2t. 当t1时，3t12t，令g(t)3t12t，则g(t)32tln 2，当t1时，g(t)0，g(t) 在(，1)上递增，即g(t)g(1)0，则方程 3t12t无解 当t1 时， 2t2t成立， 由f(a)1， 即当a1 时， 3a11， 解得 a1； 或a1 时， 2a1， 2 3 解得a1. 综上可得a的取值范围是a . 2 3 3若 3 22x 3 x2x 22x x2x ，则x的取值范围是_ ( 1 4)( 1 4) (1,2) 322x3 x2x 22x x2x ， ( 1 4)( 1 4) 3 22x 22x 3 x2x x2x ，(*) ( 1
10、 4)( 1 4) 观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F(t)3t t，则F(t)为 R R 上的增函数，而(*) ( 1 4) 式可以写成，F(22x)F(x2x)，根据F(x)递增，得 22xx2x，即x2x20，解得 x(1,2) 4已知定义域为 R R 的函数f(x)是奇函数 2xb 2x1a (1)求a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0. 解 (1)因为f(x)是定义在 R R 上的奇函数，所以f(0)0， 即0，解得b1， 1b 2a 所以f(x). 2x1 2x1a 又由f(1)f(1)知，解得a2. 21 4a 1 21 1a (2)由(1)知f(x) . 2x1 2x12 1 2 1 2x1 由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在 R R 上是 减函数) 又因为f(x)是奇函数， 所以不等式f(t22t)f(2t21)0 等价于f(t22t)f(2t21) f(2t21) 所以t22t2t21，即 3t22t10.解得t1 或t ，所以该不等式的解集为 1 3 . tt1或t 1 3