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1、 高考大题增分课 高考大题增分课 二 三角函数与解三角形中的高考热点问题 命题解读 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 17 题交替考查解三角形与数列， 本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是 平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题 解三角形 以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦 定理、余弦定理以及三角函数公式的应用 【 例1】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A 3 cos A0，a2，b2.7 (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且ADAC，
2、求ABD的面积 解 (1)由已知可得tan A，所以A.3 2 3 在ABC中，由余弦定理得 284c24ccos， 2 3 即c22c240， 解得c6(舍去)，c4. (2)由题设可得CAD， 2 所以BADBACCAD. 6 故ABD面积与ACD面积的比值为 1. 1 2ABADsin 6 1 2ACAD 又ABC的面积为 42sinBAC2， 1 2 3 所以ABD的面积为.3 规律方法 1.正、余弦定理的选用 解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子 中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个 定理都有可能用到
3、 2与三角形面积有关问题的解题策略 (1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一 1 2 1 2 1 2 个角就使用含哪个角的公式 (2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进 行边和角的互化 (2018郑州二模)ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对 边，且 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3. (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积 19 2 解 (1)2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C， 由正弦定理得bsin Basin Absin
4、Ccsin C， 则b2a2bcc2. 所以 cos A ，所以A60. b2c2a2 2bc 1 2 (2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC， 在ABE中，ABE120，AE，19 由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120， 即 199AC223AC，解得AC2(舍负) ( 1 2) 故SABCbcsin A 23. 1 2 1 2 3 2 3 3 2 三角恒等变换与解三角形 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点， 主要考查和、 差、 倍角公式以及正、 余弦定理的综合应用， 求解的关键是根据题目提供的信息， 恰当地实施边角互化 【例2
5、】 (2017全国卷) ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC) 8sin2. B 2 (1)求 cos B； (2)若ac6，ABC的面积为 2，求B 解 (1)由题设及ABC 得 sin B8sin2， B 2 故 sin B4(1cos B) 上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150， 解得 cos B1(舍去)，cos B. 15 17 (2)由 cos B得 sin B， 15 17 8 17 故SABCacsin Bac. 1 2 4 17 又SABC2，则ac. 17 2 由余弦定理及ac6 得b2a2c22accos B(ac)22ac(
6、1cos B)36217 2 4. (1 15 17) 所以b2. 规律方法 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边 角间的关系，恰当选择正、余弦定理 2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确 定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(ac)2b23ac. (1)求角B的大小； (2)若b2，且 sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面积 解 (1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac， 由余弦定理得 cos B ， a2c2b
7、2 2ac ac 2ac 1 2 0B，B. 3 (2)在ABC中，ABC，即B(AC)， 故 sin Bsin(AC)， 由已知 sin Bsin(CA)2sin 2A可得 sin(AC)sin(CA)2sin 2A， sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A， 整理得 cos Asin C2sin Acos A. 若 cos A0，则A，由b2，可得c， 2 2 tan B 2 3 3 此时ABC的面积Sbc. 1 2 2 3 3 若 cos A0，则 sin C2sin A，由正弦定理可知，c2a， 代入a2c2b2ac，整理
8、可得 3a24，解得a， 2 3 3 c， 4 3 3 此时ABC的面积Sacsin B. 1 2 2 3 3 综上所述，ABC的面积为. 2 3 3 平面图形中的几何度量问题 以四边形为载体，通过分割或补形构造新的三角形，其实质还是考查三角形中正、余弦 定理的应用 【例3】 (本题满分12分)(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC 90， A45，AB2，BD5. (1)求 ； cosADB (2)若 . DC2 2，求BC 信息提取 看到想到ADB；想到ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理 解三角形 看到想到DBC；想到用余弦定理求BC. 解 (1)在ABD中，由正弦定理
9、得. BD sinA AB sinADB 由题设知， 5 sin 45 2 sinADB ，2 分 所以sinADB 2 5 . 3 分 由题设知，ADB90，所以 cosADB.6 分1 2 25 23 5 (2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 2 5 .8 分 在BCD中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC 2582522 2 5 25. 11 分 所以BC 5. 12 分 易错与防范 易错点防范措施 想不到先求 sinADB， 再计 算 cosADB 同角三角函数的基本关系：sin2cos21 常作为隐含条件， 必须熟记于心. 求不出 cosBDC.互余的
10、两个角，满足 sin cos . 通性通法 求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图 形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在 解三角形中的应用 如图，在ABC中，点D是边AC上一点，且AD 2CD (1)若ABC90，ABAD2，求BD的长； (2)求证：. sinABD sinDBC 2BC AB 解 (1)由题意，AC3， 于是 cos A . AB AC 2 3 在ABD中，根据余弦定理可知BD2AB2AD22ABADcos A ， 8 3 所以BD. 2 6 3 (2)证明：在ABD和CBD中分别使用正弦定理可得方程组E
11、rror! 由ADBCDB 得 sinADBsinCDB 于是，结合AD2CD，将上面的两个方程相比可得， . sinABD sinDBC 2BC AB 三角形中的最值(范围)问题 解三角形与其他知识相交汇问题，常与不等式、平面向量等知识相交汇，此类问题出现 在解答题的第二问中，属于中档题，分值约为 6 分 【例 4】 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B (1)求B； (2)若b2，求ABC面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又A(BC)， 故 sin Asin(BC)sin Bcos Cc
12、os Bsin C 由和C(0，)得 sin Bcos B 又B(0，)，所以B. 4 (2)ABC的面积Sacsin Bac. 1 2 2 4 由已知及余弦定理得 4a2c22accos . 4 又a2c22ac， 故ac，当且仅当ac时，等号成立 4 2 2 因此ABC面积的最大值为1.2 规律方法 该类求解面积(周长)问题是建立面积(周长)的函数关系式或者使用基本不 等式得出三角形两边之积的最大值，再根据三角形面积公式(或周长公式)求得最值 (2019长春质检)在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 bacos C . c 2 (1)求角A； (2)若3，求a的最小值
13、AB AC 解 (1)由题意得，bacos C ， c 2 由正弦定理知，sin Bsin Acos C sin C. 1 2 ABC， sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， sin Acos Ccos Asin Csin Acos C sin C， 1 2 cos Asin C sin C， 1 2 cos A ， 1 2 A. 3 (2)由(1)及3 得bc6，所以a2b2c22bccos Ab2c262bc66，AB AC 当且仅当bc时取等号，所以a的最小值为.6 大题增分专训 1 (2018济南一模)在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
14、 且bcos Aacos B2c. (1)证明：tan B3tan A； (2)若b2c2a2bc，且ABC的面积为，求a.33 解 (1)证明：根据正弦定理，得 sin Bcos Acos Bsin A2sin C2sin(AB)， 即 sin Bcos Acos Bsin A2(sin Bcos Acos Bsin A)， 整理得 sin Bcos A3cos Bsin A，tan B3tan A. (2)由已知得，b2c2a2bc，cos A，3 b2c2a2 2bc 3bc 2bc 3 2 由 0A，得A，tan A，tan B. 6 3 3 3 由 0B，得B，C，ac， 2 3 6
15、 由SABCacsin a2，得a2. 1 2 2 3 1 2 3 2 3 2 (2018合肥一模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， (a2b)cos Cccos A0. (1)求角C； (2)若c2，求ABC周长的最大值3 解 (1)根据正弦定理，由已知得(sin A2sin B)cos Csin Ccos A0， 即 sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos C， sin(AC)2sin Bcos C， ACB，sin(AC)sin(B)sin B0， sin B2sin Bcos C，cos C . 1 2 C(0，)，C. 3 (2)由(1)及余弦定
16、理得 cos C ， a2b2c2 2ab 1 2 又c2，a2b212aB3 (ab)2123ab3 2， ( ab 2) 即(ab)248(当且仅当ab2时等号成立)3 ABC周长的最大值为 6.3 3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. a cos A 2cb cos B (1)求角A的大小； (2)若a2，SABC6，求b，c的值73 解 (1)， a cos A 2cb cos B 由正弦定理可得： ， sin A cos A 2sin Csin B cos B sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A， sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A. 即 sin C2sin Ccos A. 又 sin C0，cos A . 1 2 又A(0，)， A. 3 (2)SABCbcsin Abc6， 1 2 1 2 3 2 3 bc24， 又 cos Ab 2c2a2 2bc bc 2a22bc 2bc bc 22848 48 ， 1 2 整理得：(bc)2100， 又bc0， bc10. 联立解得：Error!或Error!