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1、第 52 讲 抛物线第 52 讲 抛物线 课时达标 课时达标 一、选择题 1已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜 率为( ) A B1 4 3 C D 3 4 1 2 C C 解析 因为点A在抛物线的准线上，所以 2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)， p 2 所以kAF .故选 C. 30 22 3 4 2拋物线y2ax2(a0)的焦点是( ) A. B.或 ( a 2，0)( a 2，0) ( a 2，0) C. D.或 (0， 1 8a)(0， 1 8a) (0， 1 8a) C C 解析 抛物线的方程化成标准形式为x2y(a0)，其焦点在y轴
2、上，所以焦点坐 1 2a 标为.故选 C. (0， 1 8a) 3(2019新乡一中月考)过抛物线y22px(p0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两 点，以AB为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216，则p( ) A1 B2 C3 D4 B B 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1x26，x1x2p8，所以p2. 4(2019曲阜一中月考)已知F是抛物线x28y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的 距离为 5，则|AF|( ) A4 B5 C6 D7 D D 解析 因为F是抛物线x28y的焦点，所以F(0,2)，因为抛物线上的点A到x轴的 距离为 5，所以|AF|5 7.
3、p 2 5(2019河北师大附中月考)已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为 ，则|AB| 3 2 的最大值为( ) A1 B2 C3 D4 D D 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23.由抛物线的定义可知|AF|BF|x1x2 14.由图可知|AF|BF|AB|，所以|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得 最大值 4. 6(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M3 在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为( ) A. B252 C2 D333 C C 解析 依题意得F(1,0)，则直线F
4、M的方程是y(x1)由Error!得x 或x3.3 1 3 由M在x轴的上方得M(3，2)，由MNl得|MN|MF|314，又NMF等于直线FM3 的倾斜角， 即NMF60， 因此MNF是边长为 4 的等边三角形， 点M到直线NF的距离为 4 2.故选 C. 3 2 3 二、填空题 7若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距3 离为_ 解析 设点 M(xM，yM)， 则Error!即x2xM30， 解得xM1 或xM3(舍去) 故点M 2M 到该抛物线焦点的距离为xM 1 . 1 2 1 2 3 2 答案 3 2 8 在平面直角坐标系xOy中， 有一定点A(2,
5、1)， 若线段OA的垂直平分线过抛物线y2 2px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_ 解析 如图所示，线段OA所在的直线方程为yx，其中垂线方程为 2xy 0，令y0， 1 2 5 2 得x ，即F，所以准线方程为x . 5 4( 5 4，0) 5 4 答案 x5 4 9已知点Q(2，0)及抛物线x24y上一动点P(x，y)，则|y|PQ|的最小值为2 _ 解析 如图， 抛物线焦点F(0， 1)， 抛物线的准线方程为y1， 设点P到准线距离为d， 则|y|PQ|d1|PQ|PF|PQ|1|QF|112，所以|y|PQ|的最81 小值为 2. 答案 2 三、解答题 10 已知过抛物线y22
6、px(p0)的焦点， 斜率为 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，2 y2)(x10)的离心率为，抛物线C：x22py(p0)的焦点在双曲线的 y2 a2 x2 4 5 顶点上 (1)求抛物线C的方程； (2)过M(1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点， 又过E，F作抛物线C的切线l1，l2， 当l1l2时，求直线l的方程 解析 (1)双曲线的离心率e，又a0，所以a1，双曲线的顶点为(0,1)，1 4 a2 5 所以抛物线的焦点为(0,1)，又p0，所以 1，所以抛物线方程为x24y. p 2 (2)由题知直线l的斜率必存在设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x
7、2， y2) 因为yx2， 所以yx， 所以切线l1，l2的斜率分别为， ， 当l1l2时， 1 4 1 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 1，所以x1x24.由Error!得x24kx4k0，并(4k)24(4k)0，所以k0. 由根与系数的关系得x1x24k4， 所以k1， 满足， 即直线l的方程为xy1 0. 12已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原 点为O，OO12.A B (1)求抛物线的方程； (2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程 解析 (1)设l：xmy2，代入y22px， 得y22pmy4p0.(*) 设
8、A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y22pm，y1y24p， 则x1x24.因为 y2 1y2 2 4p2 OA OB 12， 所以x1x2y1y212，即 44p12，解得p2，所以抛物线的方程为y24x. (2)由(1)中的(*)化为y24my80得y1y24m，y1y28.设AB的中点为 M， 则 |AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24， 又|AB|y1y2|，1m21m216m232 由得(1m2)(16m232)(4m24)2， 解得m23，m.所以直线l的方程为x3 y20 或xy20.33 13选做题(2019郴州一中月考)设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线 上三点，若F为ABC的重心，则|的值为( )FA FB FC A1 B2 C3 D4 C C 解析 依题意， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 又焦点F，x1x2x33 ( 1 2，0) ，则|(x1x2x3) 3. 1 2 3 2 FA FB FC (x 11 2) (x 21 2) (x 31 2) 3 2