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1、高考必考题突破讲座 (一)高考必考题突破讲座 (一) 1(2019河北武邑中学月考)已知函数f(x)2aln xx2. (1)若a2，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若a0， 判断函数f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值， 若存在， 求出函数f(x) 的最大值或最小值 解析 (1)当a2 时，f(x)4ln xx2. f(x) 2x，f(1)2，f(1)1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切 4 x 线方程为y12(x1)，即 2xy30. (2)f(x)2x，x0. 2a x 2x2a x 令f(x)0，由a0，解得x1，x2(舍去)aa 当x在(
2、0，)上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表. x(0，)aa(，)a f(x)0 f(x)单调递增aln aa单调递减 所以函数f(x)在区间(0，)上有最大值，f()aln aa，无最小值a 2已知函数f(x)ln xx2f. ( 1 2) x2 2 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)0，解得 00)，所以g(x)exx1， 1 2( 1 2x 2x1) 令h(x)exx1， 所以h(x)ex1， 当x0时，h(x)0恒成立， 所以g(x)在(0， ) 上单调递增， 所以g(x)g(0)0， 所以g(x)在(0， )上单调递增， 则g(x)g(0)0， 即 ex0
3、，所以f(x)0)， 则g(x)a.令g(x)0， 即a (ln x1 1 x)( 1 x 1 x2)( 1 x 1 x2) 0，解得x1，令g(x).令h(x) x a 1 a x1 a x1 ln x ，则h(x).由(2)知当x(1，e)时，ln x1 0，所以h(x)0，即h(x) x1 ln x ln x11 x ln x2 1 x 在(1， e)上单调递增， 所以h(x)0，函数f(x)是增函数，当x时，函 (1， 2 3)( 2 3，1) 数f(x)是减函数， 函数的极大值为fc， 极小值为f(1) c， 而f(2)2cc ( 2 3) 22 27 3 2 ，f(1) c c.所
4、以当x1,2时， 要使两函数图象有三个交点， 则要有c 22 27 1 2 3 2 2c0，(x)单调 ln x1 2x ln x 2x2 递增；x(1，)时，(x)0，所以x1 时，(x)有极 大值 ，作出两函数的大致图象，如图所示，由图可知，当a 时，两函数图象无交点，g(x) 1 2 1 2 无零点； 当a0 或a 时，两函数图象有一个交点，g(x)有一个零点； 1 2 当 00.当x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10 时， 令h(x)x33x24， 则g(x) h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，) 上单调递增， 所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0， )上没有实根 综上，g(x)0 在 R R 上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2 只有一个交点