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1、课后跟踪训练(十四) 基础巩固练 一、选择题 1已知 f(x) x32xf(3)lnx，则 f(3)( ) 1 3 A. B C9 D9 28 3 28 3 解析 因为 f(x)x22f(3) ， 所以 f(3)322f(3) 1 x 2f(3)，解得 f(3)，故选 B. 1 3 28 3 28 3 答案 B 2f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a 的值等于( ) A. B. C. D. 19 3 16 3 13 3 10 3 解析 因为 f(x)3ax26x， 所以 f(1)3a64， 解得 a .故选 D. 10 3 答案 D 3函数 f(x)exlnx 在点(1，f(1)处的
2、切线方程是( ) Ay2e(x1) Byex1 Cye(x1) Dyxe 解析 f(1)0，f(x)ex，f(1)e，切线方 (lnx 1 x) 程是 ye(x1)故选 C. 答案 C 4 (2019广州市高三调研测试)已知直线ykx2与曲线yxlnx 相切，则实数 k 的值为( ) Aln2 B1 C1ln2 D1ln2 解析 由 yxlnx 知 ylnx1，设切线为(x0，x0lnx0)，则切 点方程为yy0lnx0(lnx01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)， 所以 2x0lnx0(lnx01)(0x0)，解得 x02，则 k1ln2，故选 D. 答案 D 5如图，yf(x
3、)是可导函数，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x) 在 x3 处的切线， 令 g(x)xf(x)， g(x)是 g(x)的导函数， 则 g(3) ( ) A1 B0 C2 D4 解析 由题图得 f(3)1，kf(3) ，g(x)f(x) 1 3 xf(x)，g(3)130.故选 B. ( 1 3) 答案 B 二、填空题 6 (2018河南省实验中学期中)已知f(x) cosx， 则f()f 1 x ( 2) _. 解析 f(x)， 当 x 时， f ， 又 f() sinxxcos x x2 2 ( 2) 2 ，所以 f()f . 1 ( 2) 3 答案 3 7设曲线 yex在点(0,1)处
4、的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的 1 x 切线垂直，则 P 的坐标为_ 解析 yex， 曲线 yex在点(0,1)处的切线的斜率 k1e01， 设 P(m， n)， y (x0)的导数为 y (x0)， 曲线 y (x0)在点 P 1 x 1 x2 1 x 处的切线斜率 k2(m0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所 1 m2 以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1,1) 答案 (1,1) 8已知直线 l 与曲线 f(x)x23x22lnx 相切，则直线 l 倾斜 角的最小值为_ 解析 函数的定义域为(0，)由导数的几何意义可知，曲 线上任意一点P(x， y)处的切线l的斜率为f(
5、x)2x3 ， 因为x0， 2 x 故 2x 24(当且仅当 2x ，即 x1 时取等号)，所以 2 x 2x 2 x 2 x f(x)2x3 431，即切线 l 的斜率的最小值为 1，此时直 2 x 线的倾斜角取得最小值 . 4 答案 4 三、解答题 9已知函数 f(x)x34x25x4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程 解 (1)f(x)3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲 线在点(2，f(2)处的切线方程为 y2x2，即 xy40. (2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点 P(x0，x 4x
6、 5x0 3 02 0 4)， f(x0)3x 8x05， 2 0 切线方程为 y(2)(3x 8x05)(x2)， 2 0 又切线过点 P(x0，x 4x 5x04)， 3 02 0 x 4x 5x02(3x 8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01) 3 02 02 0 0，解得 x02 或 1， 经过点 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40， 或 y2 0. 10设函数 f(x)ax ，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程 b x 为 7x4y120. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所
7、 围成的三角形面积为定值，并求此定值 解 (1)方程 7x4y120 可化为 y x3. 7 4 当 x2 时，y .又 f(x)a ， 1 2 b x2 于是Error!Error!解得Error!Error!故 f(x)x . 3 x (2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y1 知曲线在 3 x2 点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0(xx0)， (1 3 x2 0) 即 y(xx0) (x 0 3 x0) (1 3 x2 0) 令 x0，得 y ， 6 x0 从而得切线与直线 x0 的交点坐标为. (0， 6 x0) 令 yx，得 yx2x0， 从而得切线与直线 yx
8、 的交点坐标为(2x0,2x0) 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的 面积为 S|2x0|6. 1 2| 6 x0| 故曲线 yf(x)上任一点的切线与直线 x0，yx 所围成的三角 形的面积为定值，且此定值为 6. 能力提升练 11(2017广东深圳调研)曲线 y1 在点 sinx sinxcosx M处的切线的倾斜角为( ) ( 2，0) A. B. C. D. 6 4 3 5 6 解析 由已知得 ycosxsinxcosxsinxcosxsinx sinxcosx2 在点 M处的切线斜率 k1，则倾斜角为 ，故 1 1sin2x ( 2，0) 4 选 B
9、. 答案 B 12 (2019河南开封模拟)函数f(x)lnxax存在与直线2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B(，2) C(2，) D(0，) 解析 直线 2xy0 的斜率为 2， 且 f(x) a(x0)， 令 a 1 x 1 x 2 得 a2 .因为 x0，则 0，所以 a0，所以 ex2 ex e x 1 2 1 ex 1 ex2 1 ex 2(当且仅当 ex ，即 x0 时取等号)，则 ex 24， ex 1 ex 1 ex 1 ex 故 y 且 y1， (0,1)由 g(x)3ax2cosx，得 g(x)3a2sinx，又 1 ex1 2sinx2,2， 3a2sinx23a,23a 要使过曲线 f(x) exx 上任意一点的切线 l1， 总存在过曲线 g(x)3ax2cosx 上某点处 的切线 l2，使得 l1l2，则Error!Error!解得 a .故选 D. 1 3 2 3 答案 D