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1、课后跟踪训练(五十三) 基础巩固练 一、选择题 1 (2019河南省洛阳市高三第一次统考)直线 l： ykx1 与圆 O ： x2y21 相交于 A，B 两点，则“k1”是“|AB|”的( )2 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 依题意，注意到|AB|OA|2|OB|2等价于圆心 O2 到直线 l 的距离等于，即有，k1.因此，“k1” 2 2 1 k21 2 2 是“|AB|”的充分不必要条件，故选 A.2 答案 A 2从圆 x22xy22y10 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切 线，则两切线夹角的余弦值为( ) A. B. C. D0 1 2
2、 3 5 3 2 解析 如图，圆 x22xy22y10 的圆心为 C(1,1)，半径为 1，两 切点分别为 A，B，连接 AC，PC，则|CP|，|AC|1，sin，5 1 5 所以 cosAPBcos212sin2 ，故选 B. 3 5 答案 B 3已知直线 l 截圆 x2y22y0 所得的弦 AB 的中点坐标为 ，则弦 AB 的垂直平分线方程为( ) ( 1 2， 3 2) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 解析 圆 x2y22y0 可化为 x2(y1)21，故圆心坐标为 (0,1)，又弦 AB 的中点坐标为，故弦 AB 的垂直平分线的斜率 ( 1 2， 3 2) 为1，故所
3、求直线方程为 xy10.故选 B. 答案 B 4 若直线 ykx 与圆(x2)2y21 的两个交点关于直线2xy b0 对称，则点(k，b)所在的圆为( ) A. 2(y5)21 (x 1 2) B. 2(y5)21 (x 1 2) C. 2(y5)21 (x 1 2) D. 2(y5)21 (x 1 2) 解析 由题意知直线 ykx 与直线 2xyb0 互相垂直，所 以 k .又圆上两点关于直线 2xyb0 对称， 故直线 2xyb0 1 2 过圆心(2,0)， 所以 b4， 结合选项可知， 点在圆 2(y ( 1 2，4) (x 1 2) 5)21 上，故选 A. 答案 A 5 (2018
4、河北省定兴三中月考)圆 O： x2y250 与圆 x2y212x 6y400 的公共弦长为( ) A. B. C2 D25656 解析 由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为 2xy150. 又圆心O(0,0)到公共弦所在直线2xy150的距离为 |15| 2212 3，则两圆的公共弦长为 22.故选 C.5 503525 答案 C 二、填空题 6 过 点 A(1，)与 圆 x2 y2 4 相 切 的 直 线 方 程 为3 _ 解析 点 A(1，)在圆 x2y24 上， 过点 A(1，)与圆 x233 y24 相切的直线方程为 xy4，即 xy40.33 答案 xy403 7(2019四川新津中
5、学月考)若点 P(1,1)为圆 C：(x3)2y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为_ 解析 圆心为 C(3,0)，直线 PC 的斜率 kPC ，则弦 MN 所 1 2 在直线的斜率 k2， 则弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1)， 即 2x y10. 答案 2xy10 8 (2019陕西省高三质检)已知直线 yax 与圆 C： x2y22ax 2y20 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则圆 C 的面 积为_ 解析 圆 C 的标准方程为(xa)2(y1)2a21，因此圆心 C(a,1)到直线 yax 的距离为，解得 a27，所 |a21| a21 3 2
6、a21 以圆 C 的面积为 ()26.a21 答案 6 三、解答题 9 (2018山西省实验中学月考)已知坐标平面上动点 M(x， y)与两 个定点 P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|5|MQ|. (1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为 C， 过点 N(2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段长 度为 8，求直线 l 的方程 解 (1)由题意得5， 即5， 化简得 x2 |MP| |MQ| x262y12 x22y12 y22x2y230， 所以点 M 的轨迹方程是(x1)2(y1)225. 轨迹是以(1,1)为圆心，以 5 为半径的圆 (2)当直线
7、l 的斜率不存在时，l：x2， 此时所截得的线段的长为 28.5232 所以 l：x2 符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30，圆心到 l 的距离 d，由题意得 |3k2| k21 24252，解得 k . ( |3k2| k21) 5 12 所以直线 l 的方程为xy0，即 5x12y460. 5 12 23 6 综上，直线 l 的方程为 x2 或 5x12y460. 10 直线 l 的方程为 mxym20(mR)， 圆 O 的方程为 x2 y29. (1)证明：不论 m 取何值，l 与圆都相交； (2)求 l 被圆截得的线段长的最小值 解
8、 (1)证明：证法一：圆心 O 到 l 的距离为 d，圆 O |m2| 1m2 的半径长为 3. 若 l 与圆相交，则有08 2 0， (m 1 4) 9 2 显然 8 2 0(对任意的 m)总成立， (m 1 4) 9 2 或 kr，直线 l 和圆 C 相离，故选 D. 答案 D 16(2019山东青岛一模)若点 A(1,0)和点 B(4,0)到直线 l 的距离 依次为 1 和 2，则这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析 如图，分别以 A，B 为圆心，1,2 为半径作圆 依题意得，直线 l 是圆 A 的切线，A 到 l 的距离为 1； 直线 l 也是 圆 B 的切线， B 到 l 的距离为 2.所以直线 l 是两圆的公切线， 共 3 条(2 条外公切线，1 条内公切线)故选 C. 答案 C