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1、课后跟踪训练(五十九) 基础巩固练 一、选择题 1已知 M(2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角 顶点 P 的轨迹方程为( ) Ax2y22 Bx2y24 Cx2y22(x2) Dx2y24(x2) 解析 MN 的中点为原点 O，易知|OP| |MN|2， 1 2 P 的轨迹是以原点 O 为圆心，以 r2 为半径的圆，除去与 x 轴的两个交点故选 D 答案 D 2已知两点 M(2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满 足|0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为( ) MN MP MN NP Ay28x By28x Cy24x Dy24x 解析 设点 P 的坐
2、标为(x，y)，则(4,0)，(x2，y)， MN MP (x2，y) NP |4， |，4(x2) 根据已知条 MN MP x22y2MN NP 件得 44(2x) x22y2 整理得 y28x，点 P 的轨迹方程为 y28x.故选 B 答案 B 3 (2019浙江杭州七校质量检测)F1， F2是双曲线的两个焦点， Q 是双曲线上任意一点， 从焦点F1引F1QF2的平分线的垂线， 垂足为P， 则点 P 的轨迹为( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 解析 当点 Q 在双曲线右支上时， 延长 F1P 交直线 QF2于点 S， QP 是F1QF2的角平分线，且 QPF1S，P 是 F1S 的中点
3、O 是 F1F2的中点，PO 是F1SF2的中位线，|PO| |F2S| (|QS| 1 2 1 2 |QF2|) (|QF1|QF2|)a，点 P 的轨迹为圆同理当点 Q 在双曲 1 2 线左支时，点 P 的轨迹仍是圆故选 B 答案 B 4平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(1,3)，若点 C 满足 12(O 为原点)，其中 1，2R，且 121，则点 C OC OA OB 的轨迹是( ) A直线 B椭圆 C圆 D双曲线 解析 设 C(x， y)， 因为12， 所以(x， y)1(3,1) OC OA OB 2(1,3)，即Error!Error! 解得Error!Error!又
4、121， 所以1，即 x2y5， y3x 10 3yx 10 所以点 C 的轨迹为直线，故选 A 答案 A 5已知 F 是抛物线 y x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 1 4 线段 PF 中点的轨迹方程是( ) Ax22y1 Bx22y 1 16 Cx2y Dx22y2 1 2 解析 把抛物线方程 y x2化成标准形式 x24y，可得焦点 1 4 F(0,1)， 设 P(x0，y0)，PF 的中点 M(x，y) 由中点坐标公式得Error!Error!Error!Error! 又P(x0，y0)在抛物线 y x2上， 1 4 2y1 (2x)2，即 x22y1.故选 A 1 4 答案 A
5、 二、填空题 6 一条线段 AB 的长为 2， 两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上 滑动，则线段 AB 的中点的轨迹是_ 解析 解法一 ： 设 A(a,0)， B(0， b)， AB 中点为 M(x， y)， 则 a2x， b 2y，由|AB|2，得 2，即 x2y21.故 AB 中点的轨迹为单位 2x0202y2 圆 解法二：当 A，B 分别在 x 轴，y 轴上时，由直角三角形 AOB 斜 边上的中线等于斜边的一半可知， 中点到原点的距离为 1.当点 A 或 B 与原点重合时，中点到原点的距离也是 1，故中点轨迹为单位圆 答案 圆 7在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点
6、，A(2,0)，B(2,0)， 点 P 为动点，且直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 ，则动点 P 的 3 4 轨迹 C 的方程为_ 解析 设 P 点的坐标为(x，y) A(2,0)，B(2,0)，直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 ， 3 4 (x2) y x2 y x2 3 4 化简整理得 P 点的轨迹 C 的方程为 1(x2) x2 4 y2 3 答案 1(x2) x2 4 y2 3 8 (2019江西红色七校二模)已知动圆 C 过点 A(2,0)， 且与圆 M ： (x2)2y264 相内切，则动圆 C 的圆心的轨迹方程为_ 解析 圆 M： (x2)2y264， 圆心 M 的坐
7、标为(2,0)， 半径 R8. 因为|AM|4|AM|. 所以圆心 C 的轨迹是中心在原点，焦点为 A，M，长轴长为 8 的 椭圆， 设其方程为1(ab0)， 则 a4， c2.所以 b2a2c2 x2 a2 y2 b2 12. 所以动圆 C 的圆心的轨迹方程为1. x2 16 y2 12 答案 1 x2 16 y2 12 三、解答题 9在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1(2,0)，A2(2,0)，再取两 个动点 N1(0，m)，N2(0，n)，且 mn3，求直线 A1N1与 A2N2交点的 轨迹 M 的方程 解 依题意知直线 A1N1的方程为 y (x2) m 2 直线 A2N2的方程
8、为 y (x2) n 2 设 Q(x，y)是直线 A1N1与 A2N2交点，得 y2(x24) mn 4 由 mn3，整理得 1. x2 4 y2 3 N1，N2不与原点重合， 点 A1(2,0)，A2(2,0)不在轨迹 M 上， 轨迹 M 的方程为 1(x2) x2 4 y2 3 10 如图， 从双曲线 x2y21 上一点 Q 引直线 xy2 的垂线， 垂足为 N，求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程 解 设动点 P 的坐标为(x，y)，点 Q 的坐标为(x1，y1)，则 N 点 的坐标为(2xx1,2yy1) N 在直线 xy2 上， 2xx12yy12. 又PQ 垂直于直线 xy2， 1
9、，即 xyy1x10， yy1 xx1 、联立解得Error!Error! 又点 Q 在双曲线 x2y21 上， x y 1. 2 12 1 代入，得动点 P 的轨迹方程是 2x22y22x2y10. 能力提升练 11在直角坐标平面内，已知两点 A(2,0)，B(2,0)，动点 Q 到 点 A 的距离为 6，线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P，则点 P 的轨 迹方程是( ) A 1 B 1 x2 5 y2 9 x2 9 y2 5 C 1 D 1 x2 8 y2 4 x2 4 y2 8 解析 连接 PB，因为线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P，所 以|PB|PQ|， 又|AQ|6
10、， 所以|PA|PB|AQ|6， 又|PA|PB|AB|， 从而点P的轨迹是中心在原点， 以A， B为焦点的椭圆， 其中2a6,2c 4，所以 b2945，所以椭圆方程为 1.故选 B x2 9 y2 5 答案 B 12 (2018安徽六安一中第四次月考)平面的斜线AB交于点B， 过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 于点 C，则动点 C 的轨迹是 ( ) A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支 解析 过定点 A 与 AB 垂直的动直线 l 组成一个平面，该平面 与平面 交于一条直线，故动点 C 的轨迹是一条直线故选 A 答案 A 13 P 是椭圆 1 上的任意一点， F1
11、， F2是它的两个焦点， O x2 4 y2 3 为坐标原点，有一动点 Q 满足，则动点 Q 的轨迹方程 OQ PF1 PF2 是_ 解析 由， OQ PF1 PF2 又2 PF1 PF2 PM PO 2， OP 设 Q(x，y)，P(x0，y0)， 由， OP 1 2OQ 则(x0，y0)，Error!Error! ( x 2， y 2) 又 P 在椭圆上，则有1， ( x 2) 2 4 ( y 2) 2 3 即1. x2 16 y2 12 答案 1 x2 16 y2 12 14 如图， P 是圆 x2y24 上的动点， P 点在 x 轴上的射影是 D， 点 M 满足. DM 1 2DP (
12、1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形 (2)过点 N(3,0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A， B， 求以 OA，OB 为邻边的平行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程 解 (1)设 M(x，y)，则 D(x,0)， 由知 P(x,2y)， DM 1 2DP 点 P 在圆 x2y24 上， x24y24， 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 y21， 且轨迹 C x2 4 为椭圆 (2)设 E(x， y)， 由题意知 l 的斜率存在， 设 l： yk(x3)， 代入 y2 x2 4 1，得(14k2)x224k2x36k240， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2， 24k2 14k2 y1y2k(x13)k(x23) k(x1x2)6k6k. 24k3 14k2 6k 14k2 四边形 OAEB 为平行四边形， (x1x2，y1y2) OE OA OB ， ( 24k2 14k2， 6k 14k2) 又(x，y)，Error!Error! OE 消去 k 得，x24y26x0， 由 (24k2)24(14k2)(36k24)0 得， k20 且 1 时，轨迹是椭圆； 当 3) x2 9 y2 16 答案 1(x3) x2 9 y2 16