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1、考点规范练 21 三角恒等变换考点规范练 21 三角恒等变换 一、基础巩固 1 1.已知 sin 2=,则 cos2=( ) 1 3 ( - 4) A.-B.C.-D. 1 3 1 3 2 3 2 3 2 2.已知 2sin 2=1+cos 2,则 tan 2=( ) A.B.- 4 3 4 3 C. 或 0D.-或 0 4 3 4 3 3 3.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.,0,B.2,- 4, 3 4 C.,D.2,- 8, 3 8 - 4, 4 4 4.(2018 全国,理 10)若f(x)=cos x-sin
2、x在-a,a上是减函数,则a的最大值是( ) A.B.C.D. 4 2 3 4 5 5.已知为锐角,若 cos,则 sin的值为( )( + 6) = 4 5 (2 + 12) A.B.C.D. 172 50 173 50 133 50 22 5 6 6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图象( ) A.向右平移 个单位长度 4 B.向左平移 个单位长度 4 C.向右平移 个单位长度 2 D.向左平移 个单位长度 2 7 7.已知函数f(x)=cos+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,(4x
3、- 3) 纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一 6 个单调递增区间为( ) A.B.- 3, 6 - 4, 4 C.D. 6, 2 3 4, 3 4 8 8.已知 2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A= ,b= . 9 9.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a= . 1 + cos2x 2sin( 2 - x) (x + 4) 2 1010.已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.( 4,1) (1)求a的值和f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x
4、)在区间(0,)内的单调递减区间. 1111.已知函数f(x)=sin2x-sin xcos x(0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最 3 2 -3 近的对称轴的距离为. 4 (1)求的值; (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值., 3 2 二、能力提升 1212.已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)(0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都3 有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,则的最小值为( ) A.B.C.D. 1 2016 1 4032 1 2016 1 4032 1313.已知 cos =,cos(+)=-,且,则 cos(-)的值等于(
5、 ) 1 3 1 3 (0, 2) A.-B.C.-D. 1 2 1 2 1 3 23 27 1414.已知函数f(x)=2sincos-2cos2+1,则f(x)的最小正周期(x + 5 24) (x + 5 24) (x + 5 24) 为 ;函数f(x)的单调递增区间为 . 1515.(2018 北京,文 16)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.3 (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间上的最大值为 ,求m的最小值.- 3,m 3 2 三、高考预测 1616.已知f(x)=sin2x-2sinsin.(1 + 1 tanx) (x + 4) (x - 4
6、) (1)若 tan =2,求f()的值; (2)若x,求f(x)的取值范围. 12, 2 考点规范练 2121 三角恒等变换 1 1.D 解析由题意得 cos2(cos+sin)2=(1+sin2)= .( - 4) = 1 2 1 2 2 3 2 2.C 解析因为 2sin2=1+cos2, 所以 2sin2=2cos2. 所以 2cos(2sin-cos)=0, 解得 cos=0 或 tan= . 1 2 若 cos=0,则=k+,kZ Z,2=2k+,kZ Z, 2 所以 tan2=0. 若 tan=,则 tan2=. 1 2 2tan 1 - tan2 = 4 3 综上所述,故选 C
7、. 3 3.C 解析由f(x)=sin2x+sinxcosx =sin2x 1 - cos2x 2 + 1 2 = 1 2 + 2 2( 2 2 sin2x - 2 2 cos2x) =sin, 1 2 + 2 2 (2x - 4) 则T=. 2 2 又 2k-2x-2k+(kZ Z), 2 4 2 k-xk+(kZ Z)为函数的单调递增区间.故选 C. 8 3 8 4 4.A 解析由题意知f(x)=cos,f(x)的部分图象如图所示.要使f(x)在-a,a上是减函2(x + 4) 数,则a的最大值为. 4 5 5.A 解析因为为锐角,cos,( + 6) = 4 5 所以 sin,sin,(
8、 + 6) = 3 5 2( + 6) = 24 25 cos, 2( + 6) = 7 25 所以 sin=sin(2 + 12) 2( + 6) - 4 =,故选 A. 24 25 2 2 - 7 25 2 2 = 172 50 6 6.A 解析y=sin2x+cos2x =2( 2 2 sin2x + 2 2 cos2x) =cos,2 2(x - 8) y=cos2x-sin2x =2( 2 2 cos2x - 2 2 sin2x) =cos2 2(x + 8) =cos,2 2(x + 4 - 8) 只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移 个单位长度可得函数y=sin2x
9、+cos2x的图象. 4 7 7.B 解析函数f(x)=cos+2cos22x=cos+1+cos4x=cos4x+sin4x+1+cos4x=(4x - 3) (4x - 3) 1 2 3 2 3 2 cos4x+sin4x+1=sin+1, 3 2 3 (4x + 3) y=g(x)=sin2x+1.3 由 2k-2x2k+,kZ Z, 2 2 得k-xk+,kZ Z, 4 4 当k=0 时,得-x ,故选 B. 4 4 8 8. 1 解析因为 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1,所以A=,b=1.22(2x + 4) 2 9 9. 解析f(x)=+sinx+
10、a2sin3 1 + 2cos2x - 1 2cosx (x + 4) =cosx+sinx+a2sin(x + 4) =sin+a2sin2(x + 4) (x + 4) =(+a2)sin.2(x + 4) 依题意有+a2=+3,则a=.223 1010.解(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x. f(x)的图象过点,( 4,1) 1=asin+cos ,可得a=1. 2 2 f(x)=sin2x+cos2x =sin.2(2x + 4) 函数的最小正周期T=. 2 2 (2)由 2k+2x+2k,kZ Z, 2 4 3 2 可得k+x+k,kZ Z
11、. 8 5 8 函数f(x)的单调递减区间为,kZ Z.k + 8, 5 8 + k x(0,),当k=0 时,可得f(x)的单调递减区间为. 8, 5 8 1111.解(1)f(x)=sin2x-sinxcosx 3 2 -3 =sin2x 3 2 - 3 1 - cos2x 2 - 1 2 =cos2x-sin2x 3 2 1 2 =-sin.(2x - 3) 因为f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 即T=4 =, 4 又0,所以=1. (2)由(1)知f(x)=-sin.(2x - 3) 因为 x, 3 2 所以2x-, 5 3 3 8 3 所以-sin1. 3
12、2 (2x - 3) 因此-1f(x), 3 2 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1., 3 2 3 2 1212.C 解析由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016)是函数f(x)的最大值. 又f(x)=cosx(sinx+cosx)3 =sin2x+ 1 2 3 1 + cos2x 2 =sin,(2x + 3) + 3 2 所以要使取最小值,只需保证在区间x0,x0+2016上为一个完整的单调递增区间即可. 故 2016=,求得min=,故的最小值为,故选 C. 1 2 2 min 1 2016 1 2016 1313.D 解析,2(0,).(0, 2)
13、 cos=, 1 3 cos2=2cos2-1=-, 7 9 sin2=.1 - cos22 = 42 9 又,+(0,),(0, 2) sin(+)=,1 - cos2( + ) = 22 3 cos(-)=cos2-(+)=cos2cos(+)+sin2sin(+)=(- 7 9) (- 1 3) + 42 9 = . 22 3 23 27 1414. (kZ Z) 解析f(x)=2sincos-2cos2+1k - 3,k + 6 (x + 5 24) (x + 5 24) (x + 5 24) =sin-cos(2x + 5 12) (2x + 5 12) =2sin(2x + 5 1
14、2)cos 4 - cos(2x + 5 12)sin 4 =sin2 (2x + 5 12) - 4 =sin.2(2x + 6) f(x)的最小正周期T=. 2 2 因此f(x)=sin.2(2x + 6) 当 2k-2x+2k+(kZ Z), 2 6 2 即k-xk+(kZ Z)时, 3 6 函数f(x)的单调递增区间是k - 3,k + 6 (kZ Z). 1515.解(1)因为f(x)=sin2x=sin2x-cos2x+ =sin,所以f(x)的最小正 1 - cos2x 2 + 3 2 3 2 1 2 1 2 (2x - 6) + 1 2 周期为T=. 2 2 (2)由(1)知f
15、(x)=sin.(2x - 6) + 1 2 因为x,- 3,m 所以 2x-. 6 - 5 6 ,2m - 6 要使f(x)在上的最大值为 ,- 3,m 3 2 即 sin上的最大值为 1.(2x - 6)在 - 3,m 所以 2m-,即m. 6 2 3 所以m的最小值为. 3 1616.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sincos(x + 4) (x + 4) =sin2x+sin 1 - cos2x 2 + 1 2 (2x + 2) =(sin2x-cos2x)+cos2x 1 2 + 1 2 =(sin2x+cos2x)+ . 1 2 1 2 由 tan=2,得 sin2=. 2sincos sin2 + cos2 2tan tan2 + 1 = 4 5 cos2=- . cos2 - sin2 sin2 + cos2 1 - tan2 1 + tan2 3 5 所以f()=(sin2+cos2)+. 1 2 1 2 = 3 5 (2)由(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+sin. 1 2 1 2 = 2 2 (2x + 4) + 1 2 由x, 12, 2 得 2x+. 4 5 12, 5 4 所以-sin1, 2 2 (2x + 4) 所以 0f(x), 2 + 1 2 所以f(x)的取值范围是.0, 2 + 1 2