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1、课时跟踪检测(三十) 平面向量基本定理及坐标表示课时跟踪检测(三十) 平面向量基本定理及坐标表示 一、题点全面练 1 (2019石家庄二中模拟)已知a(3，t)， b(1,2)， 若存在非零实数， 使得a(a b)，则t( ) A6 B.6 C D 3 2 2 3 解析：选 B 因为 ab(2，t2)，a(ab)，所以Error!解得t6. 2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线， 若(2,4)，(1,3)， 则( )AB AC BD A(2，4) B.(3，5) C(3,5) D(2,4) 解析 ： 选 B 由题意得()2BD AD AB BC AB AC AB AB AC AB (1
2、,3)2(2,4)(3，5) 3已知向量 a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若 3a2bc0，则 c( ) A(23，12) B.(23,12) C(7,0) D(7,0) 解析：选 A 由题意可得 3a2bc3(5,2)2(4，3)(x，y)(23x,12y) (0,0)， 所以Error!解得Error!所以 c(23，12) 4(2018济南调研)已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若mab 与 a2b 共线，则m的 值为( ) A2 B.2 C. D 1 2 1 2 解析：选 D 由 a(2,3)，b(1,2)，得mab(2m1,3m2)，a2b(4，1)， 又mab 与 a
3、2b 共线，所以1(2m1)(3m2)4，得m ，故选 D. 1 2 5.如图，在ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若a，AB b，则( )AC AO A. a b B. a b 1 2 1 2 1 2 1 3 C. a b D a b 1 4 1 2 1 2 1 4 解析：选 D 在ABC中，BE是边AC上的中线， .AE 1 2 AC O是边BE的中点， () a b.AO 1 2 AB AE 1 2 AB 1 4 AC 1 2 1 4 6 已知|1， |， 点C在线段AB上， AOC30.设mOA OB 3OA OB OC n (m，nR)，则 等于( )OA OB m n
4、 A. B.3 1 3 C. D 3 3 3 解析 ： 选 B 如图， 由已知|1， |， 可得AB2，OA OB 3OA OB A60，因为点C在线段AB上， AOC30， 所以OCAB， 过点C作CDOA， 垂足为点D， 则OD ，CD，所以，即 3 4 3 4 OD 3 4 OA DC 1 4 OB OC 3 4 ，所以3.OA 1 4 OB m n 7在 ABC中，P是BN上一点，若m，则实数m的值为AN 1 2 AC AP AB 3 8 AC _ 解析：因为B，P，N三点共线， 所以t(1t)t (1t)，AP AB AN AB 1 2 AC 又因为m，AP AB 3 8 AC 所以
5、Error! 解得mt . 1 4 答案：1 4 8 如图， 在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点， 若， 则AC AM BN _. 解析：法一： 以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长 为 1，则，(1,1)AM (1， 1 2) BN ( 1 2，1) AC ，AC AM BN ( 1 2， 2 ) Error!解得Error! . 8 5 法二：由，得AM AB 1 2 AD BN 1 2 AB AD AC AM BN ( 2) ，AB 2 AD 又，Error!解得Error!AC AB AD 所以 . 8 5 答案：8 5 9 在
6、ABC中， 点P在BC上， 且2， 点Q是AC的中点， 若(4,3)，BP PC PA PQ (1,5)，则_.BC 解析 ：(3,2)， 因为Q是AC的中点， 所以2(6,4)，AQ PQ PA AC AQ PC (2,7)，因为2，所以3(6,21)PA AC BP PC BC PC 答案：(6,21) 10已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，3OC ，则实数的值为_OA OB 解析：由题意知(3,0)，(0，)，OA OB 3 则(3，)，OC 3 由AOC30，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为 150，所以 tan 150，即，所以1.
7、 3 3 3 3 3 3 答案：1 11.如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中 1 3 点设a，b， 试以 a，b 为基底表示向量，.BA BC EF DF CD 解： ba b ba，EF EA AB BF 1 6 1 2 1 3 b ba，DF DE EF 1 6( 1 3ba) 1 6 ba b.CD CF FD 1 2( 1 6ba) 2 3 12若点M是ABC所在平面内一点，且满足.AM 3 4 AB 1 4 AC (1)求ABM与ABC的面积之比； (2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值BO BM BN 解：(1)由
8、，可知M，B，C三点共线AM 3 4 AB 1 4 AC 如图，设，则(BM BC AM AB BM AB BC AB )(1)，所以 ，AC AB AB AC 1 4 所以 ，即ABM与ABC的面积之比为 14. S ABM S ABC 1 4 (2)由xy，得x，BO BM BN BO BM y 2 BA y，BO x 4 BC BN 由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线， 得Error!解得Error! 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1已知向量 a(x,1)，b(4，x)，且 a 与 b 方向相反，则x的值是 ( ) A2 B.2 C2 D0 解析：选 B a 与 b 方
9、向相反， bma(m0)，则有(4，x)m(x,1) 即Error!解得x2，又m0，xm2. 2 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点， 动点P满足OP OA ，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的( ) (|) A外心 B.内心 C重心 D垂心 解析 ： 选 B 由，知，即，OP OA (|) OP OA (|) AP (|) 所以点P在BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过ABC的内心 (二)交汇专练融会巧迁移 3 与集合交汇已知Pa|a(1,0)m(0,1)，mR，Qb|b(1,1)n(1,1)，n R是两个向量集合，则PQ等于( ) A(1,1) B.(1,1) C
10、(1,0) D(0,1) 解析：选 A 设 a(x，y)，则PError!，集合P是直线x1 上的点的集合同理， 集合Q是直线xy2 上的点的集合， 即P(x，y)|x1，yR，Q(x，y)|xy20， PQ(1,1)故选 A. 4与解三角形交汇已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量m(a， b)与n(cos A，sin B)平行， 则A( )3 A. B. 6 3 C. D 2 2 3 解析 ： 选 B 因为mn，所以 asin Bbcos A0，由正弦定理，得 sin Asin Bsin 33 Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A，由于 0A，所以A.3
11、3 5 与轨迹方程交汇已知非零不共线向量， 若 2xy， 且OA OB OP OA OB PA (R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )AB Axy20 B.2xy10 Cx2y20 D2xy20 解析：选 A 由，得()，PA AB OA OP OB OA 即(1).OP OA OB 又 2xy，所以Error!OP OA OB 消去得xy20，故选 A. 6 与线性规划交汇在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)， 点P(x，y) 在ABC三边围成的区域(含边界)内，设mn(m，nR)，则 2mn的最大值为OP AB CA ( ) A1 B.1 C2 D
12、3 解析 ： 选 B 由已知得(1，1)，(1,2)，设(x，AB CA OP y)，mn，Error!OP AB CA 2mnxy. 作出平面区域如图所示，令zxy，则yxz，由图象可知 当直线yxz经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大 z的最大值为 321，即 2mn的最大值为 1.故选 B. (三)素养专练学会更学通 7.数学运算如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量AC ， 则的最大值为_DB AP 解析 ： 以A为坐标原点， 以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面 直角坐标系(图略)， 设正方形的边长为 2， 则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x
13、,2)，x0,2 (2,2)，(2，2)，(x,2)AC DB AP ，Error!Error!AC DB AP .令f(x)(0x2)， 6x 2x 6x 2x f(x)在0,2上单调递减， f(x)maxf(0)3. 答案：3 8 数学建模如图，向量与的夹角为 120， |2， |1，P是以O为OA OB OA OB 圆心， |为半径的上的动点， 若， 则的最大值是_OB BCOP OA OB 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设P(cos ，sin )， 则(cos ，sin )，(2,0)，.OP OA OB ( 1 2， 3 2) ，cos 2，sin .OP OA OB 1 2 3 2 Error! sin 2 cos 2 sin . 1 2 3 1 6 1 6 1 3(2 6) 1 6 1 2 当且仅当 2，即时，取等号 6 2 3 答案：1 2