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1、6-3 基本不等式6-3 基本不等式 课时规范练课时规范练 (授课提示：对应学生用书第 281 页) A 组 基础对点练 1若直线 1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于( C ) x a y b A2 B3 C4 D5 2(2018越秀区校级期末)已知x0，y0,2x4y2，则 的最小值是( C ) 1 x 1 y A6 B5 C32 D422 3设 00，y0)，则当 取得最小值时，等于( C )CA CB 9 x 1 y CM CN A. B6 21 4 C. D 27 4 15 2 解析：由题意可知xy1， 则(xy)10 21016，当且仅当x ，y 时取等号 ( 9 x
2、 1 y) 9y x x y 9y x x y 3 4 1 4 ，CM 3 4CA 1 4CB CN 1 2CA 1 2CB .CM CN ( 3 4CA 1 4CB ) ( 1 2CA 1 2CB ) 27 4 10函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20 上，其中m0，n0，则 的最小值为( D ) 2 m 1 n A2 B42 C. D 5 2 9 2 11已知函数f(x)4x (x0，a0)在x3 时取得最小值，则a 36 . a x 解析：f(x)4x 2 4(当且仅当 4x ，即a4x2时取等号)， a x 4xa x a a x 则由题意
3、知a43236. 12要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 160 (单位：元) 解析 ： 设底面的相邻两边长分别为x m，y m， 总造价为T元， 则Vxy14xy4.T 420(2x2y)1108020(xy)8020280204160(当且仅当xxy y时取等号) 故该容器的最低总造价是 160 元 13若直线axby10(a0，b0)过曲线y1sin x(00，b0，所 以 (ab)3 3232，当且仅当 时，取等号 1 a 2 b( 1 a 2 b) b a 2a b
4、 b a 2a b 2 b a 2a b 14(2018淮安期末)已知a，b为正实数，且ab2，则的最小值为 a22 a1 b23 b 5 . 解析：由题意a，b为正实数，ab2，a1b3，则 1， a1 3 b 3 那么b a1b 2 1. a22 a1 b23 b a122a13 a1 3 b 3 a1 3 b 3 a1 3 b 2224，当且仅当a1b，即a ，b 时取 ( 3 a1 3 b)( a1 3 b 3) a1 b b a1 1 2 3 2 等号则的最小值为 415. a22 a1 b23 b B 组 能力提升练 1设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C，ab，
5、若ABC面积 3 的最大值为 9，则的值为( B )3 A8 B12 C16 D21 2已知x，y都是正数，且xy1，则的最小值为( C ) 4 x2 1 y1 A. B2 13 15 C. D3 9 4 3某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车 辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车 长l(单位：米)的值有关，其公式为F. 76 000v v218v20l (1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为 1 900 辆/小时； (2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 100 辆/
6、小时 解析：(1)F1 900，当且仅当v11 时等号成立 76 000 v20 6.05 v 18 76 000 2 12118 (2)F2 000， 当且仅当v10时等号成立， 2 0001 900100. 76 000 v20 5 v 18 76 000 2 10018 4设a，b0，ab5，则的最大值为 3 .a1b32 解析：()2ab42929a1b3a1b3 a12b32 2 ab418，所以3，当且仅当a1b3 且ab5，即a ，ba1b32 7 2 3 2 时等号成立所以的最大值为 3.a1b32 5某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，
7、 仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为 2 千米时，运费与仓储费之和最小， 最小为 20 万元 解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元， 则y1k1x(k10)，y2(k20)， k2 x 工厂和仓库之间的距离为 4 千米时， 运费为 20 万元， 仓储费用为 5 万元， k15，k220， 运费与仓储费之和为万元， (5x 20 x) 5x220，当且仅当 5x， 20 x 5x 20 x 20 x 即x2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元 6在等腰梯
8、形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线 段BC和DC上，且，则的最小值为 .BE BC DF 1 9DC AE AF 29 18 解析 ： 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(2,0)，C ，D.又， 则EError!Error!，F， 所以 ( 3 2， 3 2) ( 1 2， 3 2) BE BC DF 1 9DC ( 1 2 1 9， 3 2) AE AF 2， 当且仅当 时取等号， (2 1 2) ( 1 2 1 9) 3 4 17 18 2 9 1 2 17 18 2 9 1 2 29 18 2 3 故的最小值为
9、.AE AF 29 18 7已知关于x的不等式x7 在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为 1 xa 5 . 解析 ： x(a， )， xa0， x(xa)a2a， 当且仅当xa1 1 xa 1 xa 时，等号成立，2a7，a5.实数a的最小值为 5. 8定义运算“”：xy(x，yR R，xy0)当x0，y0 时，xy(2y)x的 x2y2 xy 最小值为 .2 解析：因为x0，y0，所以xy(2y)x，当 x2y2 xy 4y2x2 2xy x22y2 2xy 1 2( x y 2y x) 2 且仅当 ，即xy时取等号故xy(2y)x的最小值为. x y 2y x 22 9(2018三明期
10、中)阅读：已知a0，b0，ab1，求y 的最小值 1 a 2 b 解法如下 ：y (ab) 332， 当且仅当 ， 即a1，b2 1 a 2 b( 1 a 2 b) b a 2a b 2 b a 2a b 2 时取到等号，则y 的最小值为 32.2 1 a 2 b 2 应用上述解法，求解问题：已知a0，b0，c0，abc1，则y 的最小值 1 a 1 b 1 c 为 9 . 解析：a0，b0，c0，abc1，则y 1 a 1 b 1 c (abc)332229， 当且仅当abc ( 1 a 1 b 1 c)( b a a b) ( b c c b) ( c a a c) 1 3 取得等号， 则
11、y 的最小值为 9. 1 a 1 b 1 c 10某公司生产的商品A，当每件售价为 5 元时，年销售 10 万件 (1)据市场调查， 若价格每提高 1 元， 销量相应减少 1 万件， 要使销售收入不低于原销售收入， 该商品的销售价格最多可提高多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产 的商品售价提高到每件x元，公司拟投入 (x2x)万元作为技改费用，投入 万元作为宣传 1 2 x 4 费用试问 ： 技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技改革新后 的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 解析：(1)设商品的销售价格提高a元， 则(10a)(5a)50，解得 0a5. 所以商品的价格最多可以提高 5 元 (2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元， 若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx (x2x) 1 2 x 4 50(x5)即可， 此时mx 2 ， 1 2 3 4 50 x x 2 50 x 3 4 43 4 当且仅当x，即x10 时，取等号 1 2 50 x 故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之 43 4 和