《江苏专版2020版高考数学一轮复习板块命题点专练六简单的三角恒等变换及解三角形文含解析苏教.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版2020版高考数学一轮复习板块命题点专练六简单的三角恒等变换及解三角形文含解析苏教.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、板块命题点专练(六) 简单的三角恒等变换及解三角形板块命题点专练(六) 简单的三角恒等变换及解三角形 命题点一 简单的三角恒等变换 1(2018全国卷)已知 tan ，则 tan _. ( 5 4) 1 5 解析：tantan ， ( 5 4)( 4) tan 1 1tan 1 5 解得 tan . 3 2 答案：3 2 2 (2015江苏高考)已知 tan 2， tan() ， 则 tan 的值为_ 1 7 解析：tan tan() 3. tantan 1tantan 1 72 11 7 2 答案：3 3(2017江苏高考)若 tan ，则 tan _. ( 4) 1 6 解析：tan ta
2、n . ( 4) 4 tan( 4)tan 4 1tan( 4)tan 4 1 61 11 6 7 5 答案：7 5 4 (2018全国卷)已知 sin cos 1， cos sin 0， 则 sin() _. 解析：sin cos 1， cos sin 0， 22得 12(sin cos cos sin )11， sin cos cos sin ， 1 2 sin() . 1 2 答案：1 2 5(2018全国卷改编)若 sin ，则 cos 2_. 1 3 解析：sin ，cos 212sin212 2 . 1 3( 1 3) 7 9 答案：7 9 6(2016江苏高考)在ABC中，AC6
3、，cos B ，C. 4 5 4 (1)求AB的长； (2)求 cos的值 (A 6) 解：(1)因为 cos B ，0B， 4 5 所以 sin B .1cos2B1(4 5) 2 3 5 由正弦定理知， AC sin B AB sin C 所以AB5. ACsin C sin B 6 2 2 3 5 2 (2)在ABC中，ABC，所以A(BC)， 于是 cos Acos(BC)cos(B 4) cos Bcossin Bsin. 4 4 又 cos B ，sin B ， 4 5 3 5 故 cos A . 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 因为 0A，所以 sin A.1cos2A
4、 7 2 10 因此，coscos Acossin Asin (A 6) 6 6 . 2 10 3 2 7 2 10 1 2 7 2 6 20 7(2018江苏高考)已知，为锐角，tan ，cos(). 4 3 5 5 (1)求 cos 2的值； (2)求 tan()的值 解：(1)因为 tan ， sin cos 4 3 所以 sin cos . 4 3 因为 sin2cos21， 所以 cos2， 9 25 所以 cos 22cos21. 7 25 (2)因为， 为锐角，所以(0，) 又因为 cos()， 5 5 所以 sin()，1cos2 2 5 5 所以 tan()2. 因为 tan
5、 ， 4 3 所以 tan 2. 2tan 1tan2 24 7 所以 tan()tan2() . tan 2tan 1tan 2tan 2 11 命题点二 解三角形 1 (2018江苏高考)在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ABC120， ABC 的平分线交AC于点D，且BD1，则 4ac的最小值为_ 解析：如图， SABCSABDSBCD， acsin 120c1sin 60a1sin 60，acac. 1. 1 2 1 2 1 2 1 a 1 c 4ac(4ac) 52 59， ( 1 a 1 c) c a 4a c c a 4a c 当且仅当 ，即c2a时取等号 c
6、 a 4a c 故 4ac的最小值为 9. 答案：9 2 (2018浙江高考)在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A7 60，则 sin B_，c_. 解析：由正弦定理，得 sin B sin A. a sin A b sin B b a 2 7 3 2 21 7 由余弦定理a2b2c22bccos A， 得 74c24ccos 60， 即c22c30，解得c3 或c1(舍去) 答案： 3 21 7 3(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_ 解析：bsi
7、n Ccsin B4asin Bsin C， 由正弦定理得 sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C. 又 sin Bsin C0，sin A . 1 2 由余弦定理得 cos A0， b2c2a2 2bc 8 2bc 4 bc cos A，bc， 3 2 4 cos A 8 3 3 SABCbcsin A . 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 答案： 2 3 3 4(2018北京高考)在ABC中，a7，b8，cos B . 1 7 (1)求A； (2)求AC边上的高 解：(1)在ABC中，因为 cos B ， 1 7 所以 sin B .1cos
8、2B 4 3 7 由正弦定理得 sin A. asin B b 3 2 由题设知B，所以 0A. 2 2 所以A. 3 (2)在ABC中， 因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B ， 3 2( 1 7) 1 2 4 3 7 3 3 14 所以AC边上的高为asin C7. 3 3 14 3 3 2 5(2015江苏高考)在ABC中，已知AB2，AC3，A60 (1)求BC的长； (2)求 sin 2C的值 解：(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A49223 7， 1 2 所以BC.7 (2)由正弦定理知， AB sin C BC sin A
9、 所以 sin Csin A. AB BC 2sin 60 7 21 7 因为ABBC，所以C为锐角， 则 cos C .1sin2C13 7 2 7 7 因此 sin 2C2sin Ccos C2. 21 7 2 7 7 4 3 7 6 (2018天津高考)在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos . (B 6) (1)求角B的大小； (2)设a2，c3，求b和 sin(2AB)的值 解：(1)在ABC中， 由正弦定理，可得bsin Aasin B. a sin A b sin B 又因为bsin Aacos， (B 6) 所以asin Bacos， (
10、B 6) 即 sin Bcos B sin B， 3 2 1 2 所以 tan B.3 因为B(0，)，所以B. 3 (2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B， 3 得b2a2c22accos B7，故b.7 由bsin Aacos，可得 sin A . (B 6) 3 7 因为ac，所以 cos A . 2 7 所以 sin 2A2sin Acos A， 4 3 7 cos 2A2cos2A1 . 1 7 所以 sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B . 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 7(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山 至
11、C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿 索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速 步行， 速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后， 乙从A乘缆车到B， 在B处停留 1 min 后， 再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C . 12 13 3 5 (1)求索道AB的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范 围内？ 解：(1)在ABC中，
12、因为 cos A，cos C ，所以 12 13 3 5 sin A，sin C . 5 13 4 5 从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5 13 3 5 12 13 4 5 . 63 65 由正弦定理，得ABsin C 1 040(m) AB sin C AC sin B AC sin B 1 260 63 65 4 5 所以索道AB的长为 1 040 m. (2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距 离A处 130t m，所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(1005
13、0t)200(37t270t50)， 12 13 因 0t，即 0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短 1 040 130 35 37 (3)由正弦定理，得BCsin A500(m) BC sin A AC sin B AC sin B 1 260 63 65 5 13 乙从B出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为 500 v 710 50 1 250 43 625 14 使两位游客在C处互相等待的时间不超过 3 min， 乙步行的速度应控制在(单位 ： 1 250 43 ，625
14、14 m/min)范围内 命题点三 三角综合问题 1(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_ 解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1) cos x10， 当 cos x 时，f(x)0，f(x)单调递减； 1 2 当 cos x 时，f(x)0，f(x)单调递增 1 2 当 cos x 时，f(x)有最小值 1 2 又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当 sin x时，f(x)有最小值， 3 2 即f(x)min2. ( 3
15、 2) (1 1 2) 3 3 2 答案： 3 3 2 2 (2016浙江高考)在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知bc2acos B. (1)证明：A2B； (2)若ABC的面积S，求角A的大小 a2 4 解：(1)证明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B， 故 2sin Acos Bsin Bsin(AB) sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是 sin Bsin(AB) 又A，B(0，)，故 0AB， 所以B(AB)或BAB， 因此A(舍去)或A2B，所以A2B. (2)由S得absin C， a2 4 1 2 a2 4
16、故有 sin Bsin C sin A sin 2Bsin Bcos B. 1 2 1 2 因为 sin B0，所以 sin Ccos B. 又B，C(0，)，所以CB. 2 当BC时，A； 2 2 当CB时，A. 2 4 综上，A或A. 2 4 3(2016北京高考)在ABC中，a2c2b2ac.2 (1)求B的大小； (2)求cos Acos C的最大值2 解：(1)由余弦定理及题设得， cos B. a2c2b2 2ac 2ac 2ac 2 2 又因为 0B，所以B. 4 (2)由(1)知AC. 3 4 则cos Acos Ccos Acos22 ( 3 4 A) cos Acos Asin A2 2 2 2 2 cos Asin Acos. 2 2 2 2(A 4) 因为 0A， 3 4 所以当A时，cos Acos C取得最大值 1. 4 2