《2019秋 金版学案 数学·选修4-5（人教A版）练习：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019秋 金版学案 数学·选修4-5（人教A版）练习：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1函数函数 y2的最大值是的最大值是( )x x56 6x A. B.3 35 5 C3 D5 解析：解析：根据柯西不等式，知根据柯西不等式，知 y12x x56 6x1 12 222 2 .（ （ x5） ）2 2（ （ 6x） ）2 25 5 答案：答案：B 2 已知 已知x， y， z均大于均大于0， 且， 且xyz1， 则 的最小值为， 则 的最小值为( ) 1 1 x x 4
2、 4 y y 9 9 z z A24 B30 C36 D48 解析：解析：(xyz)Error! 36， ( 1 1 x x 4 y 9 z)( x x 1 1 x x y 2 y z) 2 2 所以 所以 36. 1 1 x x 4 y 9 9 z z 答案：答案：C 3已知已知 a，b0，且，且 ab1，则，则()2的最大值是的最大值是4 4a a14 4b b1 ( ) A2 B.6 66 6 C6 D12 解析：解析：()2(11)2(1212)(4a4 4a a14 4b b14 4a a14 4b b1 14b1)24(ab)22(412)12， 当且仅当，即当且仅当，即 ab 时
3、等号成立时等号成立4a14 4b b1 答案：答案：D 4已知已知 ab1，则以下成立的是，则以下成立的是( )1b21a2 Aa2b21 Ba2b21 Ca2b21 Da2b21 解析 ：解析 ： 由柯西不等式， 得由柯西不等式， 得 1ab1b21a2a2（1a2） 1，（1b2）b2 当且仅当时，上式取等号，当且仅当时，上式取等号， b 1a2 1b2 a 所以所以 ab ，1a21b2 即即 a2b2(1a2)(1b2)， 于是于是 a2b21. 答案：答案：B 5 已知 已知 a a a 1， x x x 1， 则， 则 a1x1a2x2 2 2 1 12 2 2 22 2n n2
4、2 1 12 2 2 22 2n n anxn的最大值为的最大值为( ) A1 B2 C1 D不确定不确定 解析：解析：因为因为(a1x1a2x2anxn)2(a a a )(x x 2 2 1 12 2 2 22 2n n2 2 1 12 2 2 2 x )111， 2 2n n 当且仅当当且仅当 aikxi(i1，2，n)时等号成立时等号成立 所以所以 a1x1a2x2anxn的最大值是的最大值是 1. 答案：答案：A 二、填空题二、填空题 6函数函数 y的最大值是的最大值是_x15x 解析：解析：因为因为()2(11)(x15x)8，x15x 当且仅当， 即当且仅当， 即 x3 时， 等
5、号成立， 所以时， 等号成立， 所以x15xx15x 2，函数，函数 y 取得最大值取得最大值 2.22 答案：答案：2 2 7已知已知 x，y，zR ，且 ，且 xyz1，则，则 x2y2z2的最小值为的最小值为 _ 解析 ：解析 ： 根据柯西不等式，根据柯西不等式，x2y2z2 (121212)(x2y2z2) 1 1 3 3 (1x1y1z)2 (xyz)2 ，当且仅当 ，当且仅当 xyz 时等号成立时等号成立 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 答案：答案：1 1 3 3 8设设 a，b，m，nR，且，且 a2b25，manb5，则的，则的m2n2 最小值为最小值为_ 解析
6、 ：解析 ： 根据柯西不等式根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)， 得， 得255(m2 n2)，m2n25，的最小值为，的最小值为.m2n25 答案：答案： 5 三、解答题三、解答题 9已知已知 m0，n0，mnp，求证 ： ，指出等号成立，求证 ： ，指出等号成立 1 m 1 n 4 p 的条件的条件 证明：证明：根据柯西不等式，得根据柯西不等式，得(mn)4. ( 1 m 1 n)( m 1 m n1 n) 2 于是 于是 . 1 m 1 n 4 mn 4 p 当当 mn 时等号成立 时等号成立 p 2 10设设 xyz1，求函数，求函数 u2x23y2z2的最小值的最小
7、值 解：解：由由 xyzxy1z. 1 2 2 1 3 3 根据柯西不等式，有根据柯西不等式，有 ( 1 2 2x 1 3 3y 1z)2 (2x23y2z2)(2x23y2z2)， 因此， 因此 1(x ( 1 2) 2 ( 1 3) 2 12 11 6 yz)2(2x23y2z2)， 11 6 所以所以 u2x23y2z2， 6 11 当且仅当当且仅当x，y，z 时等号成立时等号成立2 2 3 3 所以所以 x ， ，y ， ，z，代入，代入 xyz1， 2 3 得得 x，y，z时，等号成立时，等号成立 3 11 2 11 6 11 故函数故函数 u2x23y2z2的最小值是的最小值是.
8、6 11 B 级 能力提升级 能力提升 1已知已知 2x3y4z10，则，则 x2y2z2取到最小值时的取到最小值时的 x，y，z 的值为的值为( ) A. ， ， ， B.， ， ， 5 5 3 3 1 10 0 9 9 5 5 6 6 2 20 0 2 29 9 3 30 0 2 29 9 4 40 0 2 29 9 C1， D1， 1 1 2 2 1 1 3 1 1 4 4 1 1 9 9 解 析 ：解 析 ： 当 且 仅 当 时 ， 取 到 最 小 值 ， 所 以 联 立当 且 仅 当 时 ， 取 到 最 小 值 ， 所 以 联 立 x x 2 2 y y 3 3 z z 4 4 可得
9、可得 x，y，z. x x 2 2 y 3 z 4， ， 2 2x x3y4z10，) 2 20 0 2 29 9 3 30 0 2 29 9 4 40 0 2 29 9 答案：答案：B 2已知已知 4x25y21，则，则 2xy 的最大值是的最大值是_5 5 解析：解析：因为因为 2xy2x1y15 55 5（ （2x） ）2 2（ （ 5y） ）2 212 212 2 ，1 12 22 2 所以所以 2xy 的最大值为的最大值为.5 52 2 答案：答案： 2 2 3已知正数已知正数 x，y，z 满足满足 xyz1. (1)求证： ；求证： ； x x2 2 y y2z y y2 2 z
10、z2x z z2 2 x x2y 1 1 3 3 (2)求求 4x4y4z2的最小值的最小值 (1)证 明 ：证 明 ： (y 2z z 2x x 2y) ( x x2 2 y y2z y2 2 z z2x z2 2 x x2y) 1， x x y y2z y y2z y y z z2x z z2x z z x x2y x x2y 即即 31， ( x x2 2 y y2z y2 2 z z2x z2 2 x x2y) 所以所以 . x x2 2 y y2z y y2 2 z z2x z z2 2 x x2y 1 1 3 3 (2)解：解：由基本不等式，得由基本不等式，得 4x4y4z23， 3 3 4 4x xyz2 2 因为因为 xyz1， 所以所以 xyz21zz2 ， ， (z z 1 2) 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 故故 4x4y4z233， 3 3 4 4 3 3 4 4 2 2 当且仅当当且仅当 xy ， ，z 时等号成立， 时等号成立， 1 1 4 4 1 1 2 2 所以所以 4x4y4z2的最小值为的最小值为 3 . 2 2