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1、课时跟踪练课时跟踪练(七十三七十三) A 组 基础巩固组 基础巩固 1 (2019银川质检银川质检)在区间在区间1， 3上随机取一个数上随机取一个数 x， 若， 若 x 满足满足|x| m 的概率为 ，则实数的概率为 ，则实数 m 为为( ) 1 2 A0 B1 C2 D3 解析 ：解析 ： 因为因为|x|m，所以，所以mxm，由题意得 ，由题意得 ， m（m） 3（1） 1 2 解得解得 m1，故选，故选 B. 答案：答案：B 2(2019三湘名校教育联盟联考三湘名校教育联盟联考)已知以原点已知以原点 O 为圆心，为圆心，1 为半 径的圆以及函数 为半 径的圆以及函数 yx3的图象如图所示，
2、则向圆内任意投掷一粒小米的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米 (视为质点视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为，该小米落入阴影部分的概率为( ) A. B. C. D. 1 2 1 4 1 6 1 8 解析：解析：由图形的对称性知，所求概率为由图形的对称性知，所求概率为 .故选故选 B. 1 4 12 12 1 4 答案：答案：B 3 (2019深圳二调深圳二调)设实数设实数 a(0， 1)， 则函数， 则函数 f(x)x2(2a1)x a21 有零点的概率为有零点的概率为( ) A. B. C. D. 3 4 2 3 1 3 1 4 解析 ：解析 ： 由函数由函数 f(x)x2(2a1)
3、xa21 有零点， 可得有零点， 可得 (2a 1)24(a21)4a30，解得，解得 a ，即有 ，即有 a1，结合几何概，结合几何概 3 4 3 4 型的概率计算公式可得所求的概率为型的概率计算公式可得所求的概率为 P ，故选 ，故选 D. 13 4 10 1 4 答案：答案：D 4.(2019安庆模拟安庆模拟)中国人民银行发行了中国人民银行发行了2018中国戊戌中国戊戌(狗狗)年金银 纪念币一套，如图所示是一枚 年金银 纪念币一套，如图所示是一枚 3 克圆形金质纪念币，直径为克圆形金质纪念币，直径为 18 mm， 小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用 ， 小米同学为了测算图中装饰狗的面
4、积，他用 1 枚针向纪念币上投掷枚针向纪念币上投掷 500 次，其中针尖恰有次，其中针尖恰有 150 次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰 狗的面积大约是 次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰 狗的面积大约是 ( ) A. mm2 B. mm2 C. mm2 D. mm2 486 5 243 10 243 5 243 20 解析：解析：设装饰狗的面积为设装饰狗的面积为 S mm2. 由题意得，所以由题意得，所以 S mm2，故选，故选 B. S ( 18 2) 2 150 500 243 10 答案：答案：B 5(2019湖北调研湖北调研)已知圆已知圆 C： x2y24，直线，直线 l： yx
5、，则圆，则圆 C 上任取一点上任取一点 A 到直线到直线 l 的距离小于的距离小于 1 的概率为的概率为( ) A. B. 3 4 2 3 C. D. 1 2 1 3 解析 ：解析 ： 如图所示， 设与如图所示， 设与 yx 平行的两直线平行的两直线 AD， BF 交圆交圆 C 于点于点 A， D，B，F，且它们到直线，且它们到直线 yx 的距离相等，过点的距离相等，过点 A 作作 AE 垂直于直 线 垂直于直 线yx， 垂足为， 垂足为E， 当点， 当点A到直线到直线yx的距离为的距离为1时，时， AE1， 又， 又CA 2，则，则ACE ，所以 ，所以ACBFCD ， ， 6 3 所以所求
6、概率所以所求概率 P ，故选 ，故选 D. 2 3 2 1 3 答案：答案：D 6 (2019安阳模拟安阳模拟)在边长为在边长为 a 的正三角形内任取一点的正三角形内任取一点 Q， 则点， 则点 Q 到三个顶点的距离均大于 的概率是到三个顶点的距离均大于 的概率是( ) a 2 A. B1 11 12 3 6 3 6 C. D. 1 3 1 4 解析：解析：设边长为设边长为 a 的正三角形为三角形的正三角形为三角形 ABC，如图所示：，如图所示： 因为因为 ABa，所以，所以 S ABC a2sin a2，满足到正三角形，满足到正三角形 1 2 3 3 4 ABC 的顶点的顶点 A、B、C 的
7、距离至少有一个小于或等于 的所有点组成的距离至少有一个小于或等于 的所有点组成 a 2 的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为a 2 的半圆，的半圆， 所以所以 S阴影 阴影 ， 1 2 ( a 2) 2 a2 8 所以使点所以使点 Q 到三个顶点到三个顶点 A、 B、 C 的距离都大于 的概率为的距离都大于 的概率为 P1 a 2 1.故选故选 B. a2 8 3a 2 4 3 6 答案：答案：B 7(2019惠州模拟惠州模拟)某校早上某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小 张与小王在早上 开始上课，假设该校
8、学生小 张与小王在早上 7：408：00 之间到校，且每人在该时间段的任何 时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 之间到校，且每人在该时间段的任何 时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为分钟到校的概率为 ( ) A. B. 9 32 1 2 C. D. 3 64 5 64 解析：解析：设小张和小王到校的时间分别为设小张和小王到校的时间分别为 7 时时 x 分和分和 7 时时 y 分，则 则满足条件的区域如图中阴影部分所示 分，则 则满足条件的区域如图中阴影部分所示 40 x 60， 40 y 60， yx 5，) 故所求概率故所求概率 P. 1 2 15 15 20 2
9、0 9 32 答案：答案：A 8(2019武昌质检武昌质检)如图，矩形如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为的四个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲线，正弦曲线 f(x)sin x 和 余弦曲线 和 余弦曲线 g(x)cos x 在矩形在矩形 ABCD 内交于点内交于点 F，向矩形，向矩形 ABCD 区域 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 区域 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 ( ) A. B. 1 2 1 2 2 C. D. 1 1 2 解析：解析：根据题意，可得曲线根据题意，可得曲线 ysin x 与与 ycos x
10、 围成的区域的面 积为 围成的区域的面 积为11. ( 2 2 2 2) 2 又矩形又矩形 ABCD 的面积为的面积为 2，由几何概型概率公式得该点落在阴影区 域内的概率是 ，由几何概型概率公式得该点落在阴影区 域内的概率是.故选故选 B. 1 2 2 答案：答案：B 9.如图所示，在直角坐标系内，射线如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在落在 30角的终边上， 任作一条射线 角的终边上， 任作一条射线 OA，则射线，则射线 OA 落在落在yOT 内的概率为内的概率为_ 解析 ：解析 ： 如题图， 因为射线如题图， 因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的， 则在坐标系内是等可能分布的，
11、则 OA 落在落在yOT 内的概率为内的概率为 . 60 360 1 6 答案：答案：1 6 10 一只蜜蜂在一个棱长为 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行， 若蜜蜂在飞 行过程中始终保持与正方体 的正方体内自由飞行， 若蜜蜂在飞 行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于个表面的距离均大于 1，称其为“安全 飞行” ，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ，称其为“安全 飞行” ，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_ 解析 ：解析 ： 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内 飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 的小正方体内 飞行
12、，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P. 13 33 1 27 答案：答案： 1 27 11 正方形的四个顶点 正方形的四个顶点 A(1， ， 1)， B(1， ， 1)， C(1， 1)， D(1， 1) 分别在抛物线分别在抛物线 yx2和和 yx2上，如图所示，若将一个质点随机投 入正方形 上，如图所示，若将一个质点随机投 入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是中，则质点落在图中阴影区域的概率是_ 解析：解析：由对称性，由对称性，S阴影 阴影 4(1x2)dx 4 . (x x 3 3)| 8 3 又又 S正方形 正方形 ABCD 224， 由几何概型，质点落在阴
13、影区域的概率由几何概型，质点落在阴影区域的概率 P . S阴 阴 S正 正方方形形ABCD 2 3 答案：答案：2 3 12.如图，正四棱锥如图，正四棱锥 S-ABCD 的顶点都在球面上，球心的顶点都在球面上，球心 O 在平面在平面 ABCD 上，在球上，在球 O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为 _ 解析：解析：设球的半径为设球的半径为 R，则所求的概率为，则所求的概率为 P V锥 锥 V球 球 . 1 3 1 2 2R 2RR 4 3R 3 1 2 答案：答案： 1 2 B 组 素养提升组 素养提升 13.(2019烟台模拟烟台模拟) 七巧板
14、是我国古代劳动人民的发明之一，它 是由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组 成的， 如图是一个用七巧板拼成的正方形， 若在此正方形中任取一点， 则此点取自阴影部分的概率是 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它 是由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组 成的， 如图是一个用七巧板拼成的正方形， 若在此正方形中任取一点， 则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A. B. 1 4 1 8 C. D. 3 8 3 16 解析：解析：不妨设小正方形的边长为不妨设小正方形的边长为 1，则两个小等腰直角三角形的，则两个小等腰直角三角形的 边长分别为边长分别为 1，
15、1， ，两个大等腰直角三角形的边长为， ，两个大等腰直角三角形的边长为 2，2，2，22 即最大正方形的边长为即最大正方形的边长为 2， 则较大等腰直角三角形的边长分别为， 则较大等腰直角三角形的边长分别为，22 ，2，故所求概率，故所求概率 P1 ，故选 ，故选 B.2 1 2 2112 2 8 1 8 答案：答案：B 14一题多解一题多解(2019太原模拟太原模拟)如图， “赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形 如图， “赵爽弦图”是由四个全 等的直角三角形(阴影部分阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方 形组成的图形， 若在大正方形内随机取一点， 该点落在小正方形的概 率为 ，则
16、图中直角三角形中较大锐角的正弦值为 围成一个大正方形，中间空出一个小正方 形组成的图形， 若在大正方形内随机取一点， 该点落在小正方形的概 率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为( ) 1 5 A. B. C. D. 5 5 2 5 5 1 5 3 3 解析 ：解析 ： 法一 设大正方形边长为法一 设大正方形边长为 a， 直角三角形中较大锐角为， 直角三角形中较大锐角为 ， ，则小正方形的面积为，则小正方形的面积为 a24 acos asin a2a2sin ( 4， ， 2) 1 2 2，则由题意，得 ，解得，则由题意，得 ，解得 sin 2 .因为因为 ， a2a2sin 2 a2
17、1 5 4 5 ( 4， ， 2) 所以所以 sin cos ，1sin 2 3 5 sin cos .1sin 2 1 5 由解得由解得 sin ，故选，故选 B. 2 5 5 法二 设大正方形面积为法二 设大正方形面积为 5，则小正方形面积为，则小正方形面积为 1，则大正方形 边长为，小正方形边长为 ，则大正方形 边长为，小正方形边长为 1，设四个全等的直角，设四个全等的直角5 三角形较短的直角边长为三角形较短的直角边长为 x， 则有， 则有 x2(x1)2()2， 解得， 解得 x1，5 所以四个全等的直角三角形的边长为所以四个全等的直角三角形的边长为 1，2， ，所以直角三角形中较，
18、，所以直角三角形中较5 大锐角的正弦值大锐角的正弦值 sin ，故选，故选 B. 2 5 2 5 5 答案：答案：B 15 (2019长沙模拟长沙模拟)在三棱锥在三棱锥 P-ABC 中，中， PA平面平面 ABC， PA1， ABAC，BAC120，D 为棱为棱 BC 上一个动点，设直线上一个动点，设直线 PD3 与平面与平面 ABC 所成的角为所成的角为 ，则，则 不大于不大于 45的概率为的概率为_ 解析 ：解析 ： 因为因为 tan 1， 所以， 所以 AD1.在等腰三角形在等腰三角形 ABC PA AD 1 AD 中，当中，当 BD1 或或 CD1 时，时，AD1，又，又 BC3，故所
19、求概率为，故所求概率为 . 2 3 答案：答案：2 3 16 小波通过做游戏的方式来确定周末活动， 他随机地往单位圆 内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点 小波通过做游戏的方式来确定周末活动， 他随机地往单位圆 内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点 1 2 到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不 1 4 在家看书的概率为在家看书的概率为_ 解析：解析：因为去看电影的概率因为去看电影的概率 P1 ， ， 12(1 2) 2 12 3 4 去打篮球的概率去打篮球的概率 P2， (1 4) 2 12 1 16 所以不在家看书的概率为所以不在家看书的概率为 P . 3 4 1 16 13 16 答案：答案：13 16