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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理11命题及其关系11.1命题(教师用书独具)三维目标 1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式2过程与方法通过学生举命题的例子，培养他们的辨析能力及分析问题和解决问题的能力3情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣重点难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假(教师用书独具)教学建议 命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能
2、否判断真假，重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破本节的难点教学流程 通过例2及其变式训练，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习课标解读1.了解命题的概念(难点)2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论(重点)3.能判断一些简单命题的真假(难点)命题的概念【问题导思】给出下列语句：(1)247；(2)垂直于同一条直线的两个平面平行；(3)6能被2整除；(4)全等三角形面积相等1这些语句的表述形式有什么特点？【提示】都是陈述句2你能判断这些语句的
3、真假吗？【提示】能，(2)、(3)、(4)为真；(1)为假1定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句2分类：(1)真命题：判断为真的语句；(2)假命题：判断为假的语句.命题的结构【问题导思】观察命题：(1)若整数a是素数，则a是奇数；(2)若两个三角形全等，则它们的面积相等上述命题的形式是怎样的？【提示】“若，则”的形式命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.命题的判断下列语句中是命题的有_一个数不是正数就是负数；0是自然数吗？22013是一个很大的数；4是集合2,3,4的元素；作ABCABC.【思路探究】以上语句都是陈述句吗？你能判断它们的真假吗？【自
4、主解答】是疑问句，不是命题；是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；是祈使句，不是命题是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数，是命题，为真命题【答案】判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题判断下列语句是不是命题，并说明理由(1)函数f(x)3x(xR)是指数函数；(2)x23x20；(3)函数ycos x是周期函数吗？(4)集合a，b，c有3个子集【解】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真(2)不是命题，不能判定真
5、假(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假(4)是命题因为a，b，c有238个子集，所以集合a，b，c有3个子集，为假因此(1)与(4)是命题；(2)与(3)不是命题.命题真假的判断给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则xy0；(2)若ab，则a2b2；(3)若x3，则x2x60；(4)若a，b是无理数，则ab是无理数其中的真命题有_个【思路探究】【自主解答】根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x33，而x2x660，故为假命题；(4)中取a，b，则a、b均为无理数，而ab0为有理数，故为假命题【答案】11由命题的概念可
6、知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况2如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可已知a，b为两条不同的直线，为两不同的平面，且a，b，则下列命题中的假命题是()A若ab，则B若，则abC若a，b相交，则，相交D若，相交，则a，b相交【解析】如图所示，因为，为两个不同的平面，所以c，但平面，不会重合，因为a，b，所以a与b不一定相交故“，相交，则a，b相交”是假命题【答案】D命题的构成把下列命题改写成“若p，则q”的形式(1)各位数字之和能被9整除的整数，可以被9整除(2)斜率相等的两直线平行 (3)钝角的余弦值
7、是负值【思路探究】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)若一个整数的各位数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除(2)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行(3)若一个角为钝角，则这个角的余弦值是负值要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假(1)面积相等的两个三角形全等；(2)当abc0时，a0，或b0，或
8、c0；(3)对顶角相等【解】(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等它是假命题(2)若abc0，则a0，或b0，或c0.它是真命题(3)若两个角为对顶角，则这两个角相等它是真命题改写命题时，写错大前提致误已知c0，当ab时，acbc.把该命题改写成“若p则q”的形式【错解】若c0，ab，则acbc.【错因分析】“已知c0”是大前提，条件应是“ab”，不能把它们全认为是条件【防范措施】若已知命题中有大前提，在改写命题时，不能把大前提写在条件中，应仍作为命题的大前提【正解】已知c0，若ab，则acbc.1判断一个语句是否为命题应紧抓两点：是不是陈述句，能否判断真假2判断命题真假的难点是对已有
9、知识的掌握，尤其是真命题的判断3准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p则q”形式的关键1(2013湛江高二检测)下列语句为命题的是()Ax10B238C你会说英语吗？ D这是一棵大树【解析】C不是陈述句，A、D无法判断其真假，只有B是命题，且为假命题【答案】B2下列命题是真命题的为()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2【解析】只有A正确，B、C、D可以举反例验证【答案】A3把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若p，则q”的形式为_【答案】若一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称4把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：(1)菱形的四条边相等；
10、(2)当x2时，x23x20；(3)空集是任何集合的真子集【解】(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等真命题(2)若x2，则x23x20.真命题(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集假命题.一、选择题1下列语句是命题的是()三角形的内角和等于180；23；偶数是自然数；x2；这座山真险啊！ABC D【解析】是命题，中x2无法判断真假，是感叹句，不是命题【答案】A2(2013郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题B、C中的
11、两个平面可以平行或相交，为假命题由线面垂直的性质，D为真命题【答案】D3下列说法正确的是()A命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B语句“当a4时，方程x24xa0有实根”不是命题C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D语句“当a4时，方程x24xa0有实根”是假命题【解析】将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a4时，方程x24xa0有实根”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项D是正确的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”【答案】D4(2013黔东南州
12、高二检测)下列四个命题中，真命题是()Aab，cdacbdBaba2b2C.abDab，cdacbd【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题【答案】D5设有不同的直线m，n和不同的平面，.下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m【解析】若，m，n可知m，n，但m与n可以相交，所以A不正确；B不正确；若，则中仍有不与垂直的直线，C不正确；若，则在中可作与垂直的直线n，又m，则mn，又m，所以m，D正确【答案】D二、填空题6指出下列命题的条件和结论(1)当x2时，x23x20.条件是：_，结论是：_.(2)平行四边形的对角线互相
13、平分条件是：_，结论是：_.【解析】(1)条件是“x2”，结论是“x23x20”(2)命题可改写为：若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”【答案】(1)x2x23x20(2)四边形为平行四边形对角线互相平分7下列命题：若xy1，则x，y互为倒数；四条边相等的四边形是正方形；平行四边形是梯形；若ac2bc2，则ab.其中真命题的序号是_【解析】中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，中平行四边形不是梯形，、正确【答案】8将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成
14、45的角其中真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)【解析】如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.AEBD，ECBD，AEC就是二面角ABDC的平面角AEC90.由BD平面AEC，可知BDAC，正确；由AECAED，可知ADACCD，正确；由AE平面BCD知，ABE45是AB与平面BCD所成的角，正确故为真命题【答案】三、解答题9判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由函数ysin4xcos4x的最小正周期是；若x4，则2x10，是假命题命题中，若等比数列的首项a10，公比q1时，该数列为递减数列，是假命题是一个祈使句，没有作出判断
15、，不是命题10把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)当m时，方程mx2x10无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行【解】(1)命题可改写为：若m，则mx2x10无实根当m时，14m0，则x2xm0有实根”的逆否命题ABC D【思路探究】(1)你能直接改写命题并判断真假吗？(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？【自主解答】原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”假命题原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”方程x2xm0无实根，判别式14m0，m3，则a6”以及它的逆命
16、题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A1B2C3D4【解析】原命题与逆否命题为真命题；逆命题与否命题为假【答案】B等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a2”的逆否命题的真假【思路探究】(1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？【自主解答】法一原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a2，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集”判断真假如下：抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，a2，4a70，即抛物线与x轴有交点，关于x的不等式x2
17、(2a1)xa220的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真法二先判断原命题的真假如下：a，x为实数，关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集，(2a1)24(a22)4a70.a2.原命题是真命题互为逆否命题的两个命题同真同假，原命题的逆否命题为真命题由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当直接证明一个命题是真命题不容易证明时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立判断命题“若x2x2m0无实根，则m0”的真假，并证明你的结论【解】真命题证明如下：该命题的逆否命题为“若m0，则x2x2m0有实根”m0，18m0.方程x2x2m0有实根“若m0，则x2x2m0有实
18、根”为真命题又原命题和它的逆否命题同真同假“若x2x2m0无实根，则m0”为真命题.不能正确否定命题的条件或结论致误写出命题“若x2y20，则x、y全为0”的否命题【错解】若x2y20，则x，y全不为0.【错因分析】对原命题结论否定是错误的，“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0.”【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，有时只否定结论，得到的是原命题的否定，对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误【正解】若x2y20，则x，y不全为0.1四种命题：首先找清命
19、题的条件和结论，然后(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题2四种命题的真假判断原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).1(2013西安高二检测)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab【解析】命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”【答案】D2
20、命题“若ab，则a8b8”的逆否命题是()A若ab，则a8b8B若a8b8，则abC若ab，则a8b8D若a8b8，则ab【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”【答案】D3(2013临沂高二检测)命题“若ab，则2a2b1”的否命题是_【解析】否定条件与结论，得否命题“若ab，则2a2b1”【答案】若ab，则2a2b14写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题(1)对顶角相等；(2)两个有理数的积是有理数【解】(1)原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等；逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角；否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；逆否命题：若两个角不相等，
21、则这两个角不是对顶角(2)原命题，若a，b都是有理数，则ab是有理数；逆命题：若ab是有理数，则a，b都是有理数；否命题：若a，b不都是有理数，则ab不是有理数；逆否命题：若ab不是有理数，则a，b不都是有理数.一、选择题1(2013长沙高二期末)命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是增函数D若loga20，则函
22、数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”【答案】A2设原命题：若ab2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题【解析】原命题显然为真，逆命题中，假设a2，b1，则逆命题为假命题【答案】A3有下列四个命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若b1，则方
23、程x22bxb2b0有实根”的逆否命题；若“ABB，则AB”的逆否命题其中的真命题是()ABC D【解析】是真命题，是假命题【答案】C4互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性我们用“”表示同真或同假，把它叫做“连连看”下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是()Apr，st Bpt，srCps，rt Dpr，sr【解析】因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有ps；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即rt.【答案】C5与命题
24、“若ab0，则ab”等价的命题是()A若ab0，则a不垂直于bB若ab，则ab0C若a不垂直于b，则ab0D若ab0，则ab【解析】原命题与其逆否命题为等价命题【答案】C二、填空题6下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；正方形的四条边相等；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_【解析】互为逆命题，互为否命题，互为逆否命题【答案】7(2013济南高二检测)在空间中，给出下列两个命题：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线其中逆命题为真命题的是_【解析】的逆命题：若空间四点中
25、任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题【答案】8小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：甲：小强非第一名，也非第二名；乙：小强非第一名，而是第三名；丙：小强非第三名，而是第一名竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第_名【解析】(1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对综上分析，可知
26、小强得了第一名【答案】一三、解答题9判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假(1)若ab，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数yax2bxc中，b24ac0，则该二次函数的图象与x轴有公共点【解】(1)该命题为假命题因为当c0时，有ac2bc2.逆命题：若ac2bc2，则ab.(真)否命题：若ab，则ac2bc2.(真)逆否命题：若ac2bc2，则ab.(假)(2)该命题为真命题逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补(真)否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形(真)逆否命
27、题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补(真)(3)该命题为假命题当b24ac0时，二次方程ax2bxc0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点逆命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴有公共点，则b24ac0.(假)否命题：若在二次函数yax2bxc中b24ac0，则该二次函数图象与x轴没有公共点(假)逆否命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴没有公共点，则b24ac0.(假)10已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你
28、的结论【解】(1)逆命题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它否命题为：若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)如果ab0，则ab，ba.因为f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真(2)逆否命题是：f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.它为真，可证明原命题为真来证明它因为ab0，所以ab，ba.因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，故原命题为真所以逆否命题为真1
29、1已知下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围【解】假设三个方程都无实根，则有即解得a1.故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a1或a(教师用书独具)若a，b，c都是实数，ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0.【自主解答】用反证法：假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则abc0.而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23.30，且无论x，y，z为何实数，(x1)2(y1)2(z1)20，abc0.这与abc0矛盾，a，b，c中至少有一个大于0.用反证法证明：若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数【证明】法一假设a、b、c都是奇数，设a2m1，b2n1，c2p1(m，n，pZ)，则a2b2(2m1)2(2n1)22(2m22n22m2n1)为偶数，而c2(2p1)24(p2p)1为奇数，a2