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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理课 题：第08课时 不等式的证明方法之一：比较法目的要求： 重点难点： 教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设，求证：。例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法： = = = =讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基
2、本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，可得，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5、设求证；对任意实数，
3、恒有 （1）证明 考虑（1）式两边的差。 （2）即（1）成立。三、小结：四、练习：五、作业：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与；（2）与.2已知 求证：（1） （2）3若，求证4比较a4-b4与4a3(a-b)的大小解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)= (a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (当且仅当db时取等号) a4-b44a3(a-b)。5比较(a+3)(a-5)与(a+2)(
4、a-4)的大小6已知x0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小7如果x0，比较与的大小8已知a0，比较与的大小9设x1，比较x3与x2-x+1的大小说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。阅读材料：琴生不等式例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年给出了一个定义：设函数的定义域为a,b，如果对于a,b内任意两数，都有当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设是定义在区间a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点，有其中，则称是区间a,b上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是a,b上的凹函数。其推广形式 ，设，是a,b上的凸函数，则对任意有，当且仅当时等号成立。若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。最新精品资料