《[最新]北师大版必修五名师精品：2.1.1《正弦定理》教案（含答案）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[最新]北师大版必修五名师精品：2.1.1《正弦定理》教案（含答案）.doc（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精选数学优质资料精品数学文档教学设计11正弦定理教学分析本节的主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于定理教学课做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力在初中学习过关于任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系；这里一个重要的问题是，是否能得到这个边、角关系准确量化的表示由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数上去让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任
2、意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”在引入正弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两角及某一角的对边，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两角和边计算出三角形的另一角和两条边的问题”这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构在学法上主要指导学生掌握“观察猜想证明应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力本节课以
3、及后面的解三角形中涉及计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间三维目标1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题3通过本节学习，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用教学难点：正弦定理的探索和证明
4、；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数课时安排来源:Z。xx。k.Com1课时导入新课思路1.(特例导入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如RtABC中的边角关系，若C为直角，则有acsin A，bcsin B，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到，进一步提问，等式能否与边c和C建立联系？从而展开正弦定理的探究思路2.(情境导入)如图1，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处出现火情在A处测到火情在北偏西40方向，而在B处观测到火情在北偏西60方向，已知B在A的正东方向10 km处现在要确定火场C距A，
5、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在ABC中，已知CAB130，CBA30，AB10 km，求AC与BC的长”这就是一个解三角形的问题为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理正弦定理，由此展开新课的探究学习图1推进新课来源:学+科+网Z+X+X+K阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系，根据三角函数的定义，能否得到直角三角形中边、角量化的准确表示？由得到的关系式，对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立？正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？利用正弦定理可以解决一些怎
6、样的解三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，通过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识，让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系先观察特殊的直角三角形
7、如图2，在RtABC中，设BCa，ACb，ABc，图2根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin A，sin B，又sin C1，则c.从而在RtABC中，.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析如图3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CDasin Bbsin A，则.同理，可得.从而.图3(当ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立这就是我们今天要学习的三角形中的重要定理正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
8、即上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式正弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系，描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系因为如果AB，由三角形性质，得ab.当A，B都是锐角，由正弦函数在区间上的单调性，可知sin Asin B当A是锐角，B是钝角时，由于AB，因此BA，由正弦函数在区间上的单调性，可知sin Bsin(A)sin A，所以仍有sin Asin B.正弦定
9、理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师点拨学生也可以借助于向量方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理平面几何法：如图4，在ABC中，已知BCa，ACb，ABc，作ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于C，设BC2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAC90，CC，图4sin Csin C.2R.同理，可得2R，2R.2R.这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式.这种证明方法简洁明快在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，且引入了外接圆半径R，得到2R这一等式，其变式为a2Rsin A，b2Rsin
10、 B，c2Rsin C，可以更快捷地实现边角互化特别是可以更直观看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利向量法证明：教师可引导学生回忆思考向量知识，向量的主要作用之一是讨论几何度量问题，例如，长度和角度问题，从向量数量积的定义：ab|a|b|cos ，其中为两向量的夹角我们知道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系向量的方法为我们探索三角函数提供了一种非常重要的思想方法，我们曾用它推导了两角差的余弦公式如用它推导正弦定理，首先需考虑通过三角函数的诱导公式sin cos (90)将正、余弦转化，这一转化产生了新角90，这就为辅助向量j的添加提供了线
11、索证明过程如下：(1)如图5，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90A，j与的夹角为90C.图5由向量的加法原则可得，为了与图5中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j()j，由分配律可得jjj.|j|cos 90|j|cos (90C)|j|cos (90A)asin Ccsin A.同理，可得.(2)如图6，ABC为钝角三角形，不妨设A90，过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A90，j与的夹角为90C.图6由，得jjj，即acos (90C)ccos (A90)，asin Ccsin A.来源:Zxxk.Com同
12、理，可得.(3)当ABC为直角三角形时，显然成立综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理，过程如下：如图7所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C.图7因为向量与在y轴上的射影均为|，即|cos (A90)bsin A，|sin Basin B，所以asin Bbsin A，即.同理，.所以.若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论分析正弦定理可知，应用正弦定理可解决两类解三角形问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角
13、形的另两边，即“两角一边问题”这类问题的解是唯一的(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”这类问题的解有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论讨论结果：略例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图8(1)，其一角已破损现测得如下数据：BC2.57 cm，CE3.57 cm，BD4.38 cm，B45，C120.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm) (1) (2)图8活动：如图8(2)所示，将BD，CE分别延长相交于一点A.在ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB
14、，AC的长解：将BD，CE分别延长相交于一点A.在ABC中，BC2.57 cm，B45，C120，A180(BC)180(45120)15.因为，所以AC.利用计算器算得AC7.02 cm.同理，AB8.60 cm.来源:学科网答：原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理(2)解三角形的实际问题中，数字计算往往较烦琐，可借助计算器或其他的计算工具.变式训练在ABC中，(1)已知c，A45，B60，求b；(2)已知b12，A30，B120，求a.(结果保
15、留两个有效数字)解：(1)C180(AB)180(4560)75，b1.6.(2)，a6.9.点评：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较差的学生在黑板上解答，以增强其自信心.例2 台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km范围内将会受其影响如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)?活动：这是本章章头引言提到的问题，教学时可引导学生先动手画图，加强直观感知，明确两解的实际情况这样学生在运用正弦定理求边或求角时，会感到目的明确，思路清晰流畅如图9所
16、示，设该市在点A，台风中心从点B向西北方向移动，AB300 km.在台风中心移动过程中，当该中心到点A的距离不大于250 km时，该市受台风影响分析：如图9所示，台风沿着BD运动时，由于|AB|300 km250 km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|AB|sin 453001501.41211.5(km)250 km.所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.图9这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A.假设经过t h，台风
17、中心到达点C，则在ABC中，AB300 km，AC250 km，BC40t km，B45，由正弦定理，知sin C0.848 5.利用计算器算得角C有两个解：C1121.95，C258.05.当C1121.95时，A180(BC1)180(45121.95)13.05，所以BC179.83(km)，t12.0(h)同理，当C258.05时，BC2344.4 km，t28.6 h.t2t18.62.06.6(h)答：约2 h后将要遭受台风影响，持续约6.6 h.点评：通过本例我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.变式训练1在ABC中，已知a60，b50，A38，求B(精
18、确到1)和c(保留两个有效数字)解：已知ba，BA，因此B也是锐角sin B0.513 1，B31.C180(AB)180(3831)111.c91.点评：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同结果，应强调学生注意解题的灵活性对于本题，如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解，进而求出边c的两个解此题属于ab这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边、小角对小边这一边角关系来排除B为钝角的情形教师可点拨学生模仿例题，先画图观察2在ABC中，已知a28，b20，A120，求B(精确到1)和c(保留两个有效数字)解：sin B0.618 6，B38或B142(舍去)C180(AB)22.c
19、12.点评：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性，对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到本题中A为钝角且ab，所以有一解，可让学生画图观察(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边及夹角解三角形这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理来解.例3 在ABC中，A45，BC45，最大边长为10，求角B，C，ABC的外接圆半径及ABC的面积S.活动：教师引导学生分析条件BC45，由于ABC180，由此可求出B，C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解
20、三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨解：由ABC180及BC45，可设B4k，C5k，则9k135，故k15.那么B60，C75.由正弦定理R5()，由面积公式Sbcsin Ac2Rsin Bsin A7525.点评：求面积时，b未知，但可转化为b2Rsin B，从而解决问题.变式训练1在ABC中，(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：运用正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B以及结论sin 2Asin 2Bsin(AB)sin(AB)，(a2b2)sin(AB)(a
21、2b2)sin C，(sin 2Asin 2B)sin(AB)(sin 2Asin 2B)sin Csin(AB)sin(AB)sin C.若sin(AB)0，则AB.若sin(AB)0，则sin 2Asin 2Bsin 2Ca2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形故选D.答案：D2在ABC中，若acos Abcos B，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形答案：D3已知ABC中，ABC123，那么abc等于()A123B321C12 D21答案：C例4 如图10，在ABC中，(x，y)，(u，v)求证：ABC的面积S|xvyu|.图10活动
22、：教师引导学生从三角形面积入手，借助向量的模的运算解决证明：S|sin A.因为(x，y)，(u，v)，所以S|xvyu|.点评：通过本例体现三角与向量的交汇，突出向量的工具性课本本节练习1和练习2.1先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解2我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作为问题情境，由此展开问题的全面探究；同时结合平面几何知识，结合向量的数量积与三角函数的关系，我们又探究了正弦定理的另外两种证明方法要注意领悟这些证明方法的思想内涵，并要求学生课下继续探究正弦定理的其他证明方法
23、1课本习题21A组1,4.2预习下一节余弦定理本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实本教案的设计流程清晰流畅，环环相扣，课堂容量较大，时刻注意引导并鼓励学生提出问题一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入一、知识扩展1判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况一方面，我们可以利用课本上的几
24、何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析设已知a，b，A，则利用正弦定理sin B.如果sin B1，则问题无解；如果sin B1，则问题有一解；如果求出的sin B1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断2利用三角形面积证明正弦定理如图11，已知ABC，设BCa，CAb，ABc，作ADBC，垂足为D.图11则RtADB中，sin B.ADABsin Bcsin B.SABCaADacsin B.同理，可证SABCabsin Cbcsin A.SABCabsin Cbcsin Aacsin B.absin Cbcsin Aa
25、csin B.在等式两端同除以abc，可得，即.3利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C或sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆半径)这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用二、备用习题1在ABC中，A45，B60，a10，则b等于()A5 B10 C. D52满足a4，b3和A45的ABC的个数为()A0 B1 C2 D无数多个3ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B，sin C，则abc等于()A12 B11C12 D21或114不解三角形，
26、下列判断正确的是()Aa7，b14，A30，有两解Ba30，b25，A150，有一解Ca6，b9，A45，有两解Db9，c10，B60，无解5在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且B2A，则的取值范围是()A(2,2) B(0,2) C(1，) D(，)6在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积为_7在ABC中，A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知向量m(1,2sin A)，n(sin A,1cos A)，满足mn，bca.(1)求A的大小；(2)求sin的值8已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，并且tan Atan C2，(1)求A，B，C的度数；(
27、2)若AB边上的高CD4，求三边a，b，c的长参考答案：1.D2.B3.D4.B5解析：由正弦定理知，又B2A，2cos A.ABC为锐角三角形，0B90.02A90.0A45.又0C90，AB90.3A90.A30.30A45.2cos A，即，故选D.答案：D6.7解：(1)由mn得2sin 2A1cos A0，即2cos 2Acos A10.cos A或cos A1.A是ABC的内角，cos A1(舍去)，A.(2)bca，由正弦定理，sin Bsin Csin A，BC，sin Bsin.cos Bsin B，即sin.8解：(1)由2BAC，得B60，则AC120，tan Atan
28、C22，即(2)cos Acos Csin Asin C0(1)cos Acos C (cos Acos Csin Asin C)0(1)cos (AC)cos (AC)cos (AC)00.cos (AC).|AC|30.又AC120，A45，C75或A75，C45.(2)若ABC，由正弦定理得a8，b4，cbcos Aacos B4(1)同理，若ABC时，则a4(1)，b4，c8.点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧由三个角成等差数列，得AC120，恒等变形的目标就是寻找A与C的关系，用恒等变形的方法对条件等式进行转化此题还可以由tan Atan C2求出tan Atan C3，运用韦达定理解出tan A和tan C，这对综合能力的提升大有益处(设计者：张学栋)来源:学#科#网Z#X#X#K精品数学文档