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1、精选数学优质资料精品数学文档教学设计4数列在日常经济生活中的应用教学分析等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关著名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列这些科学事实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识教材对本内容的编排上以问题及其解决为主线，既充分考虑能调动学生进行自主学习，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法建立数学模型、解决实际问题的全部过程又充分注意教材应适用于研究性学习的特点，使
2、其能较方便于教师组织学生课外学习因此，整体性、问题性、逻辑性、实际性、综合性、可操作性是本教材追求的特色，而问题性突出则是本节教材追求的亮点银行存款是老百姓日常生活中最基本的经济活动，银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型教材共安排了三个模型，教学时教师可自己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题，以更适合学生的使用，并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略三维目标1通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用2通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概
3、括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用3通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习的兴趣和信心重点难点教学重点：建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题教学难点：在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型课时安排1课时导入新课思路1.(趣味导入)一位中国老太太与一位美国老太太相遇美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足教师进一步指出：我国现代都市人的消费观念正在变
4、迁，花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们的生活但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，我们究竟选择什么样的方式好呢？由此展开今天的新课思路2.(问题导入)职员王某现在每月可以拿出500元存入银行，他想把这笔钱作为儿子三年后读大学的费用，那么他以什么方式存款收益最大？以此为切口导入新课推进新课银行存款中的单利计息是怎样计算利息的？银行存款中的复利计息是怎样计算利息的？教育储蓄的方式是怎样的？其利息怎样进行计算？活动：银行存款计息方式为单利和复利两种单利的计算是仅在原本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息其公式为：利息
5、本金利率存期以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(即本利和)，则有SP(1nr)复利是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的复利的计算公式是：SP(1r)n.教育储蓄是2000年我国推出的一种新的储蓄方式，意在鼓励城乡居民以储蓄方式为子女教育积累资金，支持国家教育事业的发展该储种储户特定，存期分别为1年、3年和6年以零存整取的方式存入资金，以相对应年限同档次的整存整取的利率计付利息，利息免税其起存金额最低为50元，本金合计最高限额为2万元，允许两次存足限额，即可约定每次最多存入1万元，到期一次性支取本息由于存期灵活，存额变化大，人们可以选择各
6、种教育储蓄方案来源:Z|xx|k.Com例如选择月存金额5 000元，存期3年，年利率为2.52%的教育储蓄方案即每月一次将5 000元存入银行，连续存4次，到3年期满后一次性支付本息在这里，第一次存入的5 000元将经过36个月的生息时间，第二次存入的5 000元将经过35个月的生息时间；依次下去，第三次、第四次存款分别将经过34,33个月的生息时间根据教育储蓄规定，这种方案能获得的利息是5 000(2.52%12)365 000(2.52%12)355 000(2.52%12)345 000(2.52%12)335 000(2.52%12)(36353433)1 449(元)这实际上是一个
7、等差数列求和的计算，最后本利和是5 00041 44921 449(元)教育储蓄在存款约定额度及选定存期上有一定技巧，运用得当，将使我们得到更多的实惠讨论结果：略例1 零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)(1)若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和是多少？(3)若每月初存入一定金额，月利率是0.3%，希望到第12个月末整取时取得本利和2 0
8、00元那么每月初应存入的金额是多少？活动：这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型这里的“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获得的利息组成一个等差数列解：(1)根据题意，第1个月存入的x元，到期利息为xrn；第2个月存入的x元，到期利息为xr(n1)元第n个月存入的x元，到期利息为xr元不难看出，这是一个等差数列求和的问题各月利息之和为xr(12n)x(元)，而本金为nx元，这样就得到本利和公式ynxx(元)，即yx(元)(nN)(2)每月存入500元，月利率为0.3%，根据式，本利和y500(360.3%)18 999(元)(3)依题意，在式中，y2 000，r0.3%，n12.x163.4
9、8(元)答：每月应存入163.48元点评：通过本例的数学建模，学生应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境提出问题数学模型数学结果检验问题结果体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获取信息.变式训练某同学依教育储蓄的方式从2004年11月1日开始，每月按时存入250元，连续存6年，月利率为0.3%.求到期一次可支取本利和共多少元？解：根据题意，教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄，由例1可知到期一次可支取本利和为25019 971(元)答：到期一次可支取本利和共为19 971元.例2 定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定
10、期存款自动转存例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来讨论以下问题：(1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和试求出储户n年后所得本利和的公式；(2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?活动：教师引导学生阅读实际问题，理解这种定期自动转存储蓄中，第二年的本金是第一年的本利和这种储蓄的计息方式是按复利计息，是等比数列的模型，这是解决本例的关键事实上，在将实
11、际问题转化为数列问题时，特别应分清是等差数列还是等比数列解：(1)记n年后得到的本利和为an，根据题意，第1年存入的本金P元，1年后到期利息为Pr,1年后本利和为a1PPrP(1r)(元)；2年后到期利息为P(1r)r元，2年后本利和为a2P(1r)P(1r)rP(1r)2(元)；来源:学科网各年的本利和是一个以a1P(1r)为首项，公比q1r的等比数列an，故n年后到期的本利和ana1qn1P(1r)(1r)n1P(1r)n(元)(复利公式)(2)根据上式，5年后本利和为a51(10.027 9)51.148(万元)答：5年后共得本利和约为1.148万元点评：教师可借此引导学生探究银行存款的
12、最佳方式及储蓄业务的种类尝试设计“寻找最好存款方式”的算法程序，并上机实现可利用多媒体探究以下问题：银行整存整取定期储蓄年利率如下表所示(2007年3月18日)存期1年2年3年5年年利率/%2.793.333.964.41某公司欲将10万元存入银行5年，可按以下方案办理(不考虑利息税)：来源:学科网(1)直接存入5年定期；(2)先存2年定期，取出本利和后再存3年定期问题1计算出不同存法到期后的本利和，哪种存款方式更合算？(第(1)种更合算)问题2你能设计出更好的存款方案吗？(答案略)例3 分期付款模型小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清商场提出的付
13、款方式为：购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算求小华每期付的金额是多少？活动：教师引导学生探究，分期付款是数列知识的一个实际应用，在现实生活中形式很多除本题要求每次付款金额相同外，各次付款的时间间隔也相同分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与分多少次付款有关，且付款的次数越少，差额越大分期付款是等比数列的模型解：假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则A25 000(10.008)2x；A4A2(10.008)2x5 000(10.008)41.0082xx；A6A4(10
14、.008)2x5 000(10.008)61.0084x1.0082xx；A125 0001.00812(1.008101.00881.00861.00841.00821)x；由题意年底还清，所以A120.解得x880.8(元)答：小华每期付款的金额为880.8元点评：由于各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息和，等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和由题意可知，小华要在12个月后还给商场的金额总值为5 000(10.008)12元，其中包括电脑价格和一年的利息这样，假定小华每期还款x元，则有x(11.00821.00841.00810)5 0001.00812.这是一个关于x的一次
15、方程，利用等比数列求和公式及计算器可求得x880.8.这样，用另一种方法求得了小华每期付款的金额为880.8元，付款总额为5 284.8元.变式训练商场出售电脑，提出了如下表所示的3种付款方式，以供顾客选择请分别算出各种付款方式每次应付款金额，并填在表中选择一种你喜欢的付款方式，与同学交流，并说明选择的理由方案类别分几次付清付款方法每期所付款额13次购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款.26次购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款.312次购买后1个月第1次付款，过1个月第2次付款来源:Z,xx,k.Com购买后12个月第12次付款.
16、注：1.每种方案中每次所付款额相同；2.规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算答案：略.课本本节练习1和练习2.1由学生归纳整合银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型熟悉教育储蓄的计息方法2教师点拨，等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型要把学习知识，应用知识，探索发现，使用计算机工具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来在归纳整合探究实际问题的过程中，进一步加深对数学问题的理解1课本本节习题141,2.2利用网络资源，探究分期付款问题3阅读课本本章小结建议，梳理全章知识点和思想方法本教案设计力图展示：教为主导，学为主体
17、，思维训练为主线的教学理念让学生体验探究问题的全过程，一切以学生自己的积极探究为主同时，以活泼、新颖、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维本教案设计遵循生活是源，数学是流，即生产、生活、实践是数学知识的直接源泉的原则，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的，目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学本教案严格控制了难度，目的是让学生进一步理解数列在实际生活中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野注重了对深层次教学目的的考虑，提高了能力和素质要求一、购房中的数学一位居民决定重新购买住房，他列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下：家庭经济状况：家庭每月
18、总收入3 000元，也就是年收入3.6万元现存款6万元，但是必须留2万元3万元以备急用预选方案：1.购买商品房：一套面积为80 m2的住宅，每平方米售价1 500元2买二手房：一套面积为110 m2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元购房还需要贷款，这位居民选择了一家银行申请购房贷款，该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%.购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%.还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金和部分利息部分，其计算公式分别为本金部分
19、贷款本金贷款期季数利息部分(贷款本金已归还贷款本金累计额)季利率请你帮这位居民算一笔经济账，根据以上的贷款方式，你认为预选方案1与2到底哪一个是他的最佳选择？说明你的理由二、数学神童维纳的年龄20世纪著名数学家诺伯特维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9全都用上了，不重不漏这意味着全
20、体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业”维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了整个会场上的人都在议论他的年龄问题其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁这样，维纳的年龄只可能是18,19,20,21这四个数中的一个剩下的工作就是“一一筛选”了.20的立方是8 000，有3个重复数字0，不合题意同理，19的四次方等于130 321,21的四次方等于194 481，都不合题意最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5 832，四次方等于104 976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业，他成为信息论的前驱和控制论的奠基人(设计者：郑吉星)精品数学文档