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1、第五章 平面向量 平面向量的数量积及其应用 对应学生用书起始页码 考 点平面向量的数量积 高频考点 两个向量的夹角 （）定义和范围 （）两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 平面向量的数量积 向量数量积的性质 设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则 （） （） （）当 与 同向时， ； 当 与 反向时， 特别地， （） （） 向量数量积的应用 已知 （，），（，），则 （）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件， （） 求解夹角问题，常利用夹角公式： （其中 为 与 的夹角） （）求线段长度问题，常利用向量的长度公式： 或 （ ） （ ） 向量中常用的结论 在
2、中， 所对的边分别为 ， （）在 的条件下，存在 使得 为 的内心； 为 的内心 （） 为 的外心 （） 为 的重心 （） 为 的垂心 对应学生用书起始页码 一、求解平面向量模的方法 利用向量数量积求解长度问题是向量数量积的重要应用， 求解平面向量模的常用方法： （） （） （） （）若 （，），则 或 已知 ， 是半径为 的 上的两个点， ， 所在平面上有一点 满足 ，则向量的模 的取值范围是 解题导引 建系设点，由题意 得 得点 的 轨迹方程 利用点与圆的位 置关系得结论 解析 以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系， 如图 由 ，得 ，于是 （ ，）， ， ， 设 （，），则 问题转化为
3、求圆 上一点到原点距 离的取值范围原点到圆心 ， 的距离为 ，又圆的半径 为 ，所以 的取值范围为 ， 答案 ， 年高考年模拟 版（教师用书） （ 江苏如皋中学学情检测）设向量 （ ， ），（ ， ），若 是实数，且 ，则的 最小值为 答案 解析 （） ，所以的最小值为 已知直角梯形 中， ， ， ， 是 腰 上 的 动 点， 则 的 最 小 值 为 答案 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 （，），设 （，），（，）（），则 （，），则 （，） （，） （，），所以 （） （ ）当 时， 二、求解平面向量夹角的方法 定义法，即利用向量数量积的定义 （ 为 与 的夹角）进行求解，在求解时，
4、要注意 的取值范围是， 坐标法，即利用 进行求解，其中 （ ，），（，）（ 为 与 的夹角） 解三角形法，即将两个向量的夹角转化为一个三角形的 内角，利用正弦定理、余弦定理或三角形的面积公式等进行求解 （）（ 课标全国改编， 分） 已知向量 ， ， ， ，则 （）（ 重庆改编， 分）若非零向量 ， 满足 ，且（）（），则 与 的夹角为 解析 （） ， 所以 （） （）（）， （）（） ， 又 ， ， ， ， ， 答案 （） （） 平面向量 （，），（，），（），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 答案 解析 解法一：由 与 的夹角等于 与 的夹角，可设 () （）， ， ， 解法二：（，），
5、与 的夹角等于 与 的夹角，且向量夹角的取值范围是， ， （） （） 已知 ， 是非零向量，若 与 垂直， 与 垂直试求 与 的夹角 解析 设 与 的夹角为 由题意知 （）（） ， （）（） ， ， ， 由得 ，所以 将代入得 ， ， 由 可知 ， ， ， ， 即向量 与 的夹角为 （ 连云港期中，）已知向量 （，），（， ），若 ，则向量 与 夹角的余弦值为 答案 解析 因为 ， 所以（，）（，） ，即（），解得 ， 所以 （，） （，） 设 与 的夹角为 ，因为 ，所以 三、平面向量的数量积及其应用 平面向量的数量积通常可以从两个角度来求解： 基底法求解，即选择两个不共线的向量作为基底，将
6、所要 研究的向量用基底的形式表示出来加以研究，一般地，基底要选 择长度或角度已知的向量 坐标法求解，即通过建立直角坐标系，将所要研究的向量 转化为坐标来加以研究一般地，若所要研究的问题是一些特殊 第五章 平面向量 的几何图形，如矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形、正三角 形等，往往这些图形能很方便地建立直角坐标系 如图，在平行四边形 中，已知 ， ，则的值是 解析 解法一： （）（） () () () ， 故 解法二：以 为坐标原点， 边所在直线为 轴，建立直角 坐标系，则 （，），设，则 （ ， ）， 因为 ，所以 （ ， ）， 从而 （ ， ），（ ， ）， 因为 ， 所以（ ， ）（
7、， ） ， 解得 ，因此 答案 （ 徐州期中，）如图，在半径为 的扇形 中，点 是 ( 上一点，若 ，则的 值为 答案 解析 以 ， 所在直线为 轴， 轴建立直角坐标系， 则 （，），（，），则 （，）， 设 ， ()()，则 （ ， ）， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ， ()，所以 ， 所以 如图， 中， ，其内切圆切 边于 点， 为圆心若 ，则 答案 解析 以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 建立平面直角坐标系（分别以射线 、 的方向为 轴、 轴的 正方向），则 （，），（，），（，） 设直角三角形的内切圆与 边切于点 ，与 边切于点 ，则由圆的切线长定理可得 ，设 （），在 中，有 ，即（） （） ，解得 ，故（，） （，）（，） （ 南京、盐城二模，）已知平面向量 （，）， （，），则 的最小值为 答案 解析 设 （，），从而（，）， （，）， 则 （，）（，） （） () （） ， 所以 的最小值为