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1、第23讲平面向量的概念及其线性运算1.2018济南调研 给出以下说法:|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关;两个具有公共终点的向量一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;单位向量都是共线向量.其中,正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.32.设a是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是()A.a与a的方向相反B.a与2a的方向相同C.|-a|a|D.|-a|a3.已知点O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且3OA+OB+OC=0,则()A.AO=12ODB.AO=23ODC.AO=-12ODD.AO=-23OD4.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a
2、-b|,则下列结论正确的是.(填序号)ab;ab;|a|=|b|;a+b=a-b.5.设向量a,b是两个不共线的向量,若3a-b与a+b共线,则实数=.6.2018石家庄质检 在ABC中,点D在边AB上,且BD=12DA,设CB=a,CA=b,则CD=()A.13a+23bB.23a+13bC.35a+45bD.45a+35b7.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上8.对于任意向量a,b,c,下列说法正确的是()A.|a+b+c|a|-|b|-|
3、c|B.|a+b+c|a|+|b|-|c|C.|a+b+c|a|+|b|D.|a+b+c|a|-|b|9.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心10.2018聊城质检 设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为()A.-2B.-1C.1D.211.点D为ABC内一点,且DA+4DB+7DC=0,则SBCDSABC=()A.47B.13C.712D.112图K23-112.2018濮阳二模 如图K23-
4、1所示,有5个全等的小正方形,若BD=xAE+yAF,则x+y的值是.13.2018泉州模拟 已知点D为ABC所在平面上一点,且满足AD=15AB-45CA,若ACD的面积为1,则ABD的面积为.14.2018江西赣县中学月考 在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+AB,则实数的取值范围是.15.2018山东、湖北部分重点中学模拟 已知D,E分别是ABC的边AB,AC的中点,M是线段DE(不包含D,E两点)上的一个动点,且满足AM=AB+AC,则1+2的最小值为()A.42B.8C.6-42D.6+4216.2018北京石景山区一模 设
5、W是由一平面内的n(n3)个向量组成的集合.若aW,且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模,则称a是W的极大向量.有下列说法:若W中每个向量的方向都相同,则W中必存在一个极大向量;给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b,使得W=a,b,c中的每个元素都是极大向量;若W1=a1,a2,a3,W2=b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量,且W1,W2中无公共元素,则W1W2中的每一个元素也都是极大向量.其中正确说法的序号是.课时作业(二十三)1.C解析 根据向量的相关概念可知中的说法错误.2.B解析 对于A,当0时,a与a的方向相同,当0时,a与a的方向相反
6、;B正确;对于C,|-a|=|-|a|,由于|-|的大小不确定,故|-a|与|a|的大小关系不确定;对于D,|a是向量,而|-a|表示长度,两者不能比较大小.3.B解析D为BC边的中点,OB+OC=2OD=-3OA,AO=23OD.4.解析 根据向量加法、减法的几何意义可知,|a+b|与|a-b|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a-b|,所以该平行四边形为矩形,所以ab.5.-13解析 由向量共线可知存在唯一一个实数,使3a-b=(a+b)=a+b,所以3=,-1=,解得=-13.6.B解析 由已知得AB=CB-CA=a-b,又BD=12DA,AD=23
7、AB=23a-23b,CD=CA+AD=b+23a-23b=23a+13b,故选B.7.B解析 因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.8.A解析 对于A,任意向量a,b,c,都有|a+b+c|a+b|-|c|a|-|b|-|c|,A中说法正确;对于B,当向量a,b是非零向量,且互为相反向量,c=0时,|a+b+c|a|+|b|-|c|,B中说法错误;对于C,当向量a,b是非零向量,且互为相反向量,c=0时,|a+b+c|a|+|b|,C中说法错误;对于D,当向量a,c是非零向量,且互为相反向量,b=0时,|a+b+c|a|-|b|,D中说法错误.
8、故选A.9.B解析 作BAC的角平分线AD,OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,AP=AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|(0,+),AP=|AD|AD,APAD,点P的轨迹一定通过ABC的内心.10.B解析BC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,AB,BD共线.设AB=BD,2a+pb=(2a-b),a,b不共线,2=2,p=-,p=-1.11.D解析 分别延长DB,DC至B1,C1,使得DB1=4DB,DC1=7DC,连接AB1,B1C1,AC1,则DA+DB1+DC1=0,如图所示.设SDAB1=SDAC1=SDB1C1=s,则SDAB=1
9、4s,SDAC=17s,SDBC=128s,SABC=14s+17s+128s=37s,SBCDSABC=128s37s=112,故选D.12.1解析 由已知可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,又AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,所以x=3,y=-2,即x+y=1.13.4解析 由AD=15AB-45CA,得5AD=AB+4AC,所以AD-AB=4(AC-AD),即BD=4DC,所以点D在边BC上,且|BD|=4|DC|,所以SABD=4SACD=4.14
10、.0,12解析 由题意可得AD=1,CD=3,AB=2DC.点E在线段CD上,DE=DC(01).AE=AD+DE,又AE=AD+AB=AD+2DC=AD+2DE(01),2=1,即=2(01),00且2+2=1,所以1+2=1+2(2+2)=6+2+46+42(当且仅当=2-12,=2-22时取等号),故1+2的最小值为6+42,故选D.16.解析若W中的向量方向相同,模相等且不为零,则W无极大向量,故不正确;由于c=-a-b成立,因此a,b,c中,任一向量的模等于除它本身外所有向量和的模,故正确;W中的3个向量都是极大向量,等价于这3个向量之和为0,故W1=a1,a2,a3,W2=b1,b2,b3中的每个元素都是极大向量时,W1W2中的每一个元素也都是极大向量,故正确.故答案为.