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1、专题突破三 空间直角坐标系的构建策略,第三章 空间向量与立体几何,利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.,一、利用共顶点的互相垂直的三条棱 例1 已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.,解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x
2、轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，,点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.,跟踪训练1 如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成角的余弦值.,解 因为平面PAD平面ABCD，PAAD，平面PAD平面ABCDAD，所以，PA平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD
3、，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz， 则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0).,解 过点B作BP垂直BB1交C1C于点P， 因为AB平面BB1C1C，所以ABBP，ABBB1， 以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz. 又BPBB1，BB1ABB， 且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1，,点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方
4、便.本题已知条件中的垂直关系“AB平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.,跟踪训练2 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,解 取BC的中点E，连接AE. 由ABAC得AEBC，,设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则,三、利用面面垂直关系 例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中点.将ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.,解 取AE中点M，连
5、接BM，DM. 因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点， 所以ABE与ADE都是等边三角形， 所以BMAE，DMAE. 又平面BAE平面AEC，平面BAE平面AECAE， 所以BM平面AEC，所以BMMD. 以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，,设平面BCD的法向量为m(x，y，z)，,取y1，得m(0,1,1)，,所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45.,点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余
6、弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.,跟踪训练3 在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD 底面ABCD. (1)证明：AB平面VAD；,证明 取AD的中点O作为坐标原点， 由题意知，VO底面ABCD， 则可建立如图所示的空间直角坐标系.,又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.,(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值.,设E为DV的中点，连接EA，EB，,又EADV，AEB为所求二面角的平面角，,四、利用底面
7、的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 例4 如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O. (1)求证：平面O1DC平面ABCD；,证明 如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设OA1，OA1a. 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(1,0,0)， D(0，1,0)，O1(1,0，a).,设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面O1DC和平面ABCD的法向量.,故mn0，即平面O1DC与平面ABCD的法向量
8、垂直，故平面O1DC平面ABCD.,(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE2EA1，问点F在何处时，EFAD?,故当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EFAD.,点评 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系.,跟踪训练4 已知正四棱锥VABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求DEB的余弦值；,解 如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，OyAB. 由AB2a，OVh，,(2)若BEVC，求DEB的余弦值.,1,2,3,达标检测,DABIAOJIANCE,1.如图所示，已知正方体
9、ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为_.,45,解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示， 设正方体的棱长为1，,异面直线EF和CD所成的角是45.,1,2,3,2.在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD ，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为_.,1,2,3,解析 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,1,2,3,1,2,3,3.在三
10、棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB2，AA1 ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC平面ABB1A1. (1)证明：BCAB1；,又ABD，AB1B为三角形的内角， 故ABDAB1B，,又CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，所以AB1CO， 因为BDCOO，BD，CO平面CBD， 所以AB1平面CBD， 又BC平面CBD，所以AB1BC.,1,2,3,(2)若OCOA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.,1,2,3,解 如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，,设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,设直线CD与平面ABC所成角为，,1,2,3,本课结束,更多精彩内容请登录：,