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1、第三节 直线、平面平行的判定及其性质 (全国卷5年12考),【知识梳理】 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理,此,平面内,la,a,l,交线,l,l,=b,2.平面与平面平行的判定定理和性质定理,相交直线,a,b,ab=,P,a,b,相交,交线,=a,=b,【常用结论】 1.一条直线与一个平面平行,那么它与这个平面内的直线平行或异面. 2.利用直线与平面平行的判定定理判定线面平行,即找平面内的直线与已知直线平行.一般有两种方法:,(1)中心投影法 即找到中心投影点向平面内作投影.,(2)平行投影法 找到两条平行光线AC,BD,找到AB在平面内的投影为 CD.,【基础自测】 题组一:走出误区
2、 1.判断正误.(在括号内打“”或“”) 直线l平行于平面内的无数条直线,则l; ( ) 若直线l在平面外,则l; ( ),若直线lb,直线b,则l; ( ) 若直线lb,直线b,那么直线l就平行于平面内的无数条直线. ( ),【解析】,直线l平行于平面内的无数条直线,包括l和l. ,直线l在平面外,包括l与相交和l. ,直线lb,直线b,包括l和l.,直线lb,直线b,那么l平行于内与直线b平行的所有直线,所以直线l就平行于平面内的无数条直线.,2.已知直线a,b,平面,a,b,则a, b是的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【
3、解析】选B.因为直线a,b不一定相交,所以a, b时,不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即a,b,因此a,b是的必要但不充分条件.,题组二:走进教材 1.(必修2P61练习改编)下列命题中正确的是 ( ) A.若a,b是两条直线,且ab,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面满足a,那么a与内的任何直线平行,C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面满足ab,a,b,则b,【解析】选D.A错误,a可能在经过b的平面内;B错误,a与内的直线平行或异面;C错误,两个平面可能相交; D正确,由a,可得a平行于经过直线a的平面与的交线c,即ac,又ab,所以bc,b,
4、c,所以b.,2.(必修2P58T3改编)平面平面的一个充分条件是 ( ) A.存在一条直线a,a,a B.存在一条直线a,a,a C.存在两条平行直线a,b,a,b,a,b D.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b,【解析】选D.若=l,al,a,a,a, a,故排除A.若=l,a,al,则a,故排除B.若=l,a,al,b,bl,则a, b,故排除C.,3.(必修2P57例2改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是_(只填序号). AD1BC1; 平面AB1D1平面BDC1; AD1DC1; AD1平面BDC1.,【解析】连接AD1,BC1,AB1,B1D1,C1
5、D,BD,因为AB C1D1, 所以四边形AD1C1B为平行四边形,故AD1BC1,从而正 确;,易证BDB1D1,AB1DC1,又AB1B1D1=B1,BDDC1=D, 故平面AB1D1平面BDC1,从而正确;由图易知AD1与 DC1异面,错误;因为AD1BC1,AD1平面BDC1,BC1平面BDC1,故AD1平面BDC1,故正确. 答案:,考点一 直线、平面平行的基本问题 【题组练透】 1.设m,n是空间两条直线,是空间两个平面,则下 列命题中不正确的是 ( ),A.当n时,“n”是“”的充要条件 B.当m时,“m”是“”的充分不必要条件 C.当m时,“n”是“mn”的必要不充分条件 D.
6、当m时,“n”是“mn”的充分不必要条件,【解析】选C.当m时,“n”“mn”或m与n 异面;“mn”“n或n”,所以当m 时,“n”是“mn”的既不必要又不充分条件,故 C错误;当m时,“m”“”,“ ”推不出“m”,所以当m时,“m”是 “”的充分不必要条件,故B正确;当n,时,“n”“”,所以当n时, “n”是“”成立的充要条件,故A正确;当m时,“n”“mn”,“mn”推不出“n”,当m时,“n”是“mn”的充分不必要条件,故D正确.,2.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14,又H,G分别为BC,CD的中点,则 ( ),A.BD平面EFG,且
7、四边形EFGH是平行四边形 B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形 D.EH平面ADC,且四边形EFGH是梯形,【解析】选B.由题意知EFBD, 且EF= BD,HGBD,且HG= BD. 所以EFHG,且EFHG,所以四边形EFGH是梯形. 因为EF平面BDC,EFBD,所以EF平面BCD,而EH与平 面ADC不平行,故A,C,D错误,B正确.,3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在_位置时,平面D1BQ平面PAO. ( ),A.Q与C重合 B.Q与C1重合
8、C.Q为CC1的三等分点 D.Q为CC1的中点,【解析】选D.当点Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.证明如下: 因为点Q为CC1的中点,点P为DD1的中点, 所以QBPA.因为P,O分别为DD1,DB的中点, 所以D1BPO.又因为D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平面PAO, 所以D1B平面PAO,QB平面PAO, 又D1BQB=B,D1B,QB平面D1BQ, 所以平面D1BQ平面PAO.,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为_.,【解析】如图.连接BD交AC于点O,连接OE,因为O,E分别为BD,DD1的
9、中点,所以OEBD1,而OE平面ACE,BD1平面ACE,所以BD1平面ACE.,答案:平行,5.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:,EC平面AFN; CN平面AFB; BMDE; 平面BDE平面NCF.其中正确判断的序号是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:,由 FN平面EMC,故FNEC;同理AFEC,故 EC平面AFN,故正确;由CNBE,则CN平面AFB,故 正确;由图可知BMDE显然错误,故不正确;由 BDNF得BD平面NCF,DECF得DE平面NCF,由面面 平行判定定理可知平面BDE平面NCF
10、,故正确.,【规律方法】直线、平面间平行的判定方法 (1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)利用实物进行空间想象,比较判断.,(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.,考点二 直线与平面平行的判定及性质 【典例】(1)如图所示,已知四棱锥P-ABCD,BCAD, PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.证明:CE平面PAB.,(2)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:GH平面PAD.,【证明
11、】(1)设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分 别为PD,PA的中点,所以EFAD,且EF= AD. 又因为BCAD,BC= AD,所以EFBC,且EF=BC,所以四 边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,又BF平面PAB, CE平面PAB,所以CE平面PAB.,【一题多解微课】 解决本题(1)还可以采用 以下方法:方法一:分别延长AB,DC交于点F,连接PF,BC= AD,则FC=CD,又ED=EP,则ECPF,因为EC平面PAB, PF平面PAB,所以EC平面PAB.,方法二:取AD的中点M,连接EM,CM,EMPA, EM平面PAB,PA平面PAB,EM平面PAB, 又BC A
12、D=AM,四边形ABCM为平行四边形, 则CMAB.CM平面PAB,AB平面PAB. CM平面PAB,EMCM=M,则平面ECM平面PAB,因为CE平面ECM,所以CE 平面PAB.,(2)如图,连接AC交BD于点O,连接MO, 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以O是AC的中点.又M是PC的中点, 所以APOM. 根据直线和平面平行的判定定理,则有PA平面BMD. 因为平面PAHG平面BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理,所以PAGH. 因为GH平面PAD,PA平面PAD, 所以GH平面PAD.,【规律方法】证明线面平行的方法 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是
13、设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.构造平行直线的方法一般有两种,中心投影法;平行投影法.,(2)利用面面平行的性质证明,关键是构造过该直线与所证平面平行的平面,往往借助于比例线段或平行四边形.,【对点训练】 1.若,是两个相交平面,则“点A不在内,也不在内”是“过点A有且只有一条直线与和都平行”的 ( ),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选C.根据题意,如图,要使过点A的直线m与平 面平行,则经过直线m的平面与平面的交线n与直线 m平行,同理可得经过直线m的平面与平面的交线k与 直线m平行,则推出nk,则n和k与两平面和的交线 平
14、行,即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线 平行即可,显然这样的直线有且只有一条,若点A在平面,内,则不存在过点A与和都平行的直线.,2.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG. 证明:FG平面AA1B1B.,【证明】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1CC1,BB1 平面BB1D,CC1平面BB1D,所以CC1平面BB1D.又因为CC1 平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,所以CC1FG.因为BB1CC1,所以BB1FG,而BB1平面AA1B1B, FG平面AA1B1B, 所以F
15、G平面AA1B1B.,考点三 面面平行的判定与性质 【明考点知考法】 重点考查两个平面平行的判定与性质及其应用,考 查线线平行、线面平行、面面平行之间的转化.,命题角度1 面面平行的判定与性质 【典例】(1)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,点G和H分别是CE和CF的中点. 求证:平面BDGH平面AEF.,(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1A1A=C1A1A, AA1=AC,P,Q分别为棱AA1,AC的中点.在平面ABC内过点A作AM平面PQB1交BC于点M,写出作图步骤,但不要求证明.,【解析】(1)在CEF中,因
16、为G,H分别是CE,CF的中点,所以GHEF, 又因为GH平面AEF,EF平面AEF, 所以GH平面AEF. 设ACBD=O,连接OH,在ACF中,因为OA=OC,CH=HF, 所以OHAF, 又因为OH平面AEF,AF平面AEF, 所以OH平面AEF. 又因为OHGH=H,OH,GH平面BDGH, 所以平面BDGH平面AEF.,(2)如图,在平面ABB1A1内,过点A作ANB1P交BB1于点N,连接BQ,在BB1Q中,作NHB1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM为所求作的直线.,【状元笔记】 证明两个平面平行的方法 用定义,此类题目常用反证法来完成证明; 用判定定理或推论(即
17、“线面平行面面平行”),通过线面平行来完成证明;,根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明; 借助“传递性”来完成.面面平行问题常转化为线面平行,而线面平行又转化为线线平行,需要注意转化思想的应用.,命题角度2 面面平行的综合应用问题 【典例】如图,在三棱锥A-BOC中,AO平面COB,OAB= OAC= ,AB=AC=2,BC= ,D,E分别为AB,OB的中点.,(1)求证:CO平面AOB. (2)在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF平面AOC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)因为AO平面COB, 所以AOCO,AOBO. 即AOC与AOB
18、为直角三角形. 又因为OAB=OAC= ,AB=AC=2, 所以OB=OC=1.由OB2+OC2=1+1=2=BC2,可知BOC为直角三角形,所以COBO. 又因为AOBO=O,AO平面AOB,BO平面AOB,所以CO平面AOB.,(2)在线段CB上存在一点F,使得平面DEF平面AOC,此时点F为线段CB的中点. 如图,连接DF,EF.,因为D,E分别为AB,OB的中点, 所以DEOA. 又因为DE平面AOC,所以DE平面AOC. 因为E,F分别为OB,BC的中点, 所以EFOC.,又因为EF平面AOC,所以EF平面AOC. 又因为EFDE=E,EF平面DEF,DE平面DEF, 所以平面DEF
19、平面AOC.,【状元笔记】 面面平行的应用 (1)两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行. (2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.,【对点练找规律】 1.如图,四边形ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.,求证:(1)BE平面DMF. (2)平面BDE平面MNG.,【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.,(2)因为点N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN.
20、 又因为DE平面MNG,GN平面MNG, 所以DE平面MNG. 又因为点M为AB中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN.又因为BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG. 又因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线, 所以平面BDE平面MNG.,2.如图在三棱柱ABC-ABC中,点D是BC的中点,欲过点A作一截面与平面ACD平行.,(1)问应当怎样画线,并说明理由. (2)求所作截面与平面ACD将三棱柱分成的三部分的体积之比.,【解析】(1)在三棱柱ABC-ABC中,点D是BC的中点,取BC的中点E,连接AE,AB,BE,则 平面AEB平面ACD,AE,AB,BE即为应画的线.
21、理由如下:因为点D为BC的中点,点E为BC的中点,所以BD=CE.又因为BCBC,所以四边形BDCE为平行四边形,所以DCBE.因为DC平面ABE,BE 平面ABE,所以DC平面ABE.连接DE,则DE平行等于BB,所以DE平行等于AA,所以四边形AAED是平行四边形,所以ADAE.因为AD平面ABE,AE平面ABE, 所以AD平面ABE.又因为ADDC=D,AD 平面ACD,DC平面ACD,所以平面AEBACD.,(2)设棱柱的底面积为S,高为h. 则V三棱锥C-ACD=V三棱锥B-ABE= 所以三棱柱夹在平面ACD与平面AEB间的体积为Sh -2 所以所作截面与平面ACD将三棱柱分成的三部
22、分的体 积之比为 Sh Sh Sh=141.,思想方法系列16平行关系的判断与证明 【思想诠释】在应用化归与转化思想证明线面、面面平行时,利用判定和性质定理相互转化,有时要根据几何图形的几何特征,用到平面几何知识,即,【典例】如图所示在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分 别为AC,A1C1上的点. (1)当 等于何值时,BC1平面AB1D1?,(2)若平面BC1D平面AB1D1,求 的值.,【解析】(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时 =1.连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.,由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点. 在A1BC1中,
23、点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1BC1.,又因为OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,所以BC1 平面AB1D1. 所以当 =1时,BC1平面AB1D1.,(2)由平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BC1D =BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O,得BC1D1O,所以 同理AD1DC1,可知 =1, 所以 =1,即 =1.,【技法点拨】平行关系的相互转化 (1)证明线面平行时,通常根据判定定理转化为线线平行. (2)证明面面平行,通常根据判定定理转化为线面平行. (3)平面几何知识中,中位线定理及平行四边形的性质用的较多.,【即时训练】 1.如图所
24、示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是( ),【解析】选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN平面AEF,所以点P位于线段MN上. 因为A1M=A1N= MN=,所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当点P位于MN中点O 时,A1P最小,此时A1O= 所以 |A1P| ,所以线段A1P长度的取值范围是,2.如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形, CB=CD,ECBD. (1)求证:BE=DE. (2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.,【证明】(1)设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,COBD,又已知CEBD,CECO=C,所以BD平面OCE, 所以BDOE,即OE是BD的垂直平分线, 所以BE=DE.,(2)取AB的中点N,连接MN,DN, 因为M是AE的中点,所以MNBE. 因为ABD是等边三角形,所以DNAB. 由BCD=120知,CBD=30,所以ABC=60+30 =90,即BCAB,所以NDBC, 所以平面MND平面BEC,故DM平面BEC.,