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1、第7讲 离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念， 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单 问题. Xx1x2xixn Pp1p2pipn 1.离散型随机变量的均值和方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： 则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.均值和方差的性质 aE(X)b p np 设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb， 则 E(Y)E(aXb)_， D(Y)D(aXb)a2D(X). 3.两点分布及二项分布的均值和方差 (1)若 X
2、服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p). 101 P0.50.30.2 1.已知的分布列为 D则 E()() A.0B.0.2C.1D.0.3 123 P0.40.20.4 2.已知随机变量的分布列是： B则 D()() A.0.6B.0.8C.1D.1.2 解析：E()10.4 20.230.4 2 ，则 D()(1 2)20.4(22)20.2(32)20.40.8. 4.(2017 年新课标)一批产品的二等品率为 0.02，从这批 产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的 二等品件数，则 D
3、(X)_.1.96 解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 XB(100,0.02)， 由二项分布的期望方差公式，可得D(X)np(1p) 1000.020.981.96. 考点 1 离散型随机变量的期望与方差 例 1：2018 年 2 月 22 日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表 现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国 男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每 滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 Ak(k1,2,3,4).已知
4、 在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通 过的交接口数. (1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率； (2)求 X 的分布列及数学期望 E(X).图 9-7-1 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： 则称E(X)x1 p1x2 p2xi pixn pn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列，可直接套用公式E(X)x1 p1x2 p2xi pixn pn 求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不
5、依赖于样本的抽 取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算. 【互动探究】 1.中国好声音(The Voice of China)是由浙江卫视联合星 空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目. 每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱 完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导 师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中，6 位选 手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示： 导师转身人数/人4321 获得相应导师转身 的选手人数/人 1221 现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的 转身情况. (1)求选出的两人导师为其转身的人数和为
6、 4 的概率； (2)记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X，求 X 的分 布列及数学期望 E(X). 解：(1)设 6 位选手中，A 有 4 位导师为其转身，B，C 有 3 位导师为其转身，D，E 有 2 位导师为其转身，F 只有 1 位导师 为其转身. 考点 2 超几何分布的期望和方差 例 2：(2018 年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员 工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从 这 7 人中随机抽取 3
7、人做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变 量 X 的分布列与数学期望； 设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也 有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率. 解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 2 2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、 乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列为： 【互动探究】 2.某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百 分制”进行折算，选出前 n 名学生，并对这 n 名
8、学生按成绩分 组，第一组75,80) ，第二组80,85) ，第三组85,90) ，第四组 90,95)，第五组95,100，图 9-7-2 为频率分布直方图的一部分， 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成 等差数列，且第四组的学生人数为 60，第五组对应的小长方形 的高为 0.02. 图 9-7-2 (1)请在图中补全频率分布直方图； (2)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分 层抽样的方法抽取 6 名学生进行面试，并且在这 6 名学生中随 机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，设第三组有名学生被考官 B 面试，求的分布列和数学期望. 解：(1)因为第四组的学
9、生人数为 60，且第五组、第一组、 第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总 人数为 n560300. 由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为 0.025 30030，又公差为6030 2 15， 所以第一组的学生人数为 45，第二组的学生人数为 75，第 三组的学生人数为 90. 补全频率分布直方图如图 D99： 图 D99 因此的分布列为： 质量/g5,15)15,25)25,35)35,45)45,55 数量6101284 考点 3 二项分布的期望和方差 例 3：生蚝即牡蛎(oyster)是所有食物中含锌最丰富的，在 亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭
10、 绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，依附 寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年 四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生 蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如下表所示： (1)若购进这批生蚝 500 kg，且同一组数据用该组区间的中 点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)； (2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个， 记质量在5,25)间的生蚝的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望. 解：(1)由表中的数据可以估算每只生蚝的质量为： 所以 X 的分布列为： 【规律方法】(1)求随机变量的期望与方差时，可首
11、先分析 是否服从二项分布，如果B(n，p)，那么用公式 E()np， D()np(1p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系 的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab) aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出D(a b). 【互动探究】 3.某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制 了该厂日销售量的频率分布直方图，如图 9-7-3： 图 9-7-3 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售 量相互独立. (1)求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天 日销售量低于 8 吨的概
12、率； (2)用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随 机变量 X 的分布列及数学期望. 解：(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于 8 吨的频 率为： 2(0.1250.075)0.4， 记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 Ai(i 1,2,3)，则 P(Ai)0.4. 未来 3 天内，连续 2 天日销售不低于 8 吨，另一天日销量 X0123 P0.2160.4320.2880.064 (2)由(1)知，第i天日销售量不低于8吨的概率P(Ai)0.4， X 的可能取值为 0,1,2,3，且 XB(3,0.4)， P(X0)(10.4)30.216
13、； P(X3)0.430.064. 所以 X 的分布列为： E(X)30.41.2. 思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望 例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发 电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年 入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米) 都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量 相互独立. 年入流量 X40120 发电机最多可运行台数123 (1)求在未来
14、 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的 概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最 多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系： 若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发 电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的 均值达到最大，应安装发电机多少台？ (2)记水电站年总利润为 Y 万元. 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000； 安装 2 台发电机的情形. 依题意，当 40120时，3台 发电机运行，此时Y50003
15、15 000，因此P(Y15 000) P(X120)p30.1. Y3400920015 000 P0.20.70.1 由此得 Y 的分布列如下： 所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装 发电机 2 台. 【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力， 关键在于如何迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型， 化归为数学期望问题. 【互动探究】 4.某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险 产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获 得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分
16、为 A，B，C 三 类工种，从事这三类工种的人数分别为 12 000,6000,2000，由历 史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概 率)： 已知 A，B，C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、 25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、 50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元. (1)求保险公司在该业务所获利润的期望值； (2)现有如下两个方案供企业选择： 方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外 企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职 工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12
17、万元； 方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%， 职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企 业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 解：(1)设工种 A，B，C 职工的每份保单保险公司的收益为 随机变量 X，Y，Z，则 X，Y，Z 的分布列为： 保险公司的期望收益为： 则保险公司的利润的期望值为 12 000E(X)6000E(Y) 2000E(Z)100 00090 000， 故保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元. (2)方案 1，企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出 与固定开支共为： 方案 2，企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为： (12 00025600025200040)0.737.1104， 4610437.1104，故建议企业选择方案2.