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1、第13讲 抽象函数 1.了解函数模型的实际背景. 2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质. 1.下列四类函数中，有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x) C满足 f(xy)f(x)f(y)”的是( A.幂函数 C.指数函数 ) B.对数函数 D.余弦函数 2.已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x)0，则 f(x)是() B A.奇函数 C.非奇非偶函数 B.偶函数 D.不确定 4.已知函数 f(x)的定义域为(0，)，并且对任意正数 x， y 都有 f(xy)f(x)f(y). (1)f(1)_； (2)若 f(8)3，则 f( )_. A 0 1 2 考点1正比例
2、函数型抽象函数 例1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)， 且当 x0 时，f(x)0f(x2x1)0. f(x1)f(x2).yf(x)在 R 上为减函数. 因此 f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值. f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6. 函数 f(x)的最大值为 6，最小值为6. 【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如 下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉 函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号 “f ”. (2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)0f(x)
3、 是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性. (3)判断单调性小技巧：设x10f(x2x1)1时 f(x)0， f(2)1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (3)解不等式 f(2x21)1， 且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b). (1)求证：f(0)1； (2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)f(2xx2)1，求实数 x 的取值范围. 0. (1)证明：令 ab0，则 f(0)f(0)2. f(0)0，f(0)1. (2)证明：当 x0 时，x0， f(0)f(
4、x)f(x)1. f(x) 1 f(x) 又当 x0 时，f(x)10. xR 时，恒有 f(x)0. f(x2x1)1. (3)证明：设 x1x2，则 x2x10. f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1). x2x10，f(x2x1)1. 又f(x1)0，f(x2) f(x1) f(x2)f(x1).f(x)是 R 上的增函数. (4)解：由 f(x)f(2xx2)1，f(0)1， 得 f(3xx2)f(0). f(x)是 R 上的增函数，3xx20.0x3. 实数 x 的取值范围是x|0x2，x1x20，则 f(x1x2)1， f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数f(x)是增函数. 【互动探究】 答案： 思想与方法 利用转化与化归思想解答抽象函数 【互动探究】 答案：C