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1、第17讲导数与函数的极值、最值 1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其 中多项式函数一般不超过三次). 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般 不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式 函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些实际问题. 1.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极大值； f(x)0 f(x)0 如果在 x0 附近的左侧_，右侧_， 那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： 求 f(
2、x)； 求方程 f(x)0 的根； 极大值 检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左右值的符号.如果左正 右负，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个 根不是极值点. 2.函数的最值 (1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件： 如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小 值，f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值. (3)求 y
3、f(x)在a，b上的最大(小)值的步骤： 求函数 yf(x)在(a，b)内的_； 极值 将函数 yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值. 端点值 3.利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数 学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域； (2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0； (3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答， 即获得优化问题的答案. 1.(2016 年四川)已知 a 是函数 f(x)x312x 的极小值点， )
4、则 a( A.4 C.4 B.2 D.2 在(t，t1)上存在极值点，则实数 t 的取值范围为_. D (0,1)(2,3) D 4.(2015 年陕西)函数 yxex 在其极值点处的切线方程为 _. y1 e 考点1函数的极值 答案：(1)a1(2)5 (3)(，1)(1,0) 【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数f(x)的定义域； 求f(x)，令 f(x)0，求出它在定义域内的一切实根； 把函数 f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和上面 的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； 确定f(x)在各个开区
5、间内的符号，根据f(x)的符号判 定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性. (2)可导函数极值存在的条件： 可导函数的极值点x0 一定满足f(x0)0，但当f(x1) 0 时，x1 不一定是极值点.如f(x)x3，f(0)0，但x0 不 是极值点； 可导函数yf(x)在点x0 处取得极值的充要条件是f(x0) 0，且在x0 左侧与右侧f(x)的符号不同. 【互动探究】 1.设函数 f(x)x33axb(a0). (1)若曲线 yf(x)在点(2，f(x)处与直线 y8 相切，求a， b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. 解：(1)f(x)3x23a(a0). 曲线 yf
6、(x)在点(2，f(x)处与直线 y8 相切， f(2)0， f(2)8 3(4a)0， 86ab8 a4， b24. 考点2函数的最值 例2：(2018 年新课标)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_. 解析：由题意，可得 T2是 f(x)2sin xsin 2x 的一个周 期， 故只需考虑 f(x)2sin xsin 2x 在0,2)上的值域. 先来求该函数在0,2)上的极值点， 求导数，可得 f(x)2cos x2cos 2x 2cos x2(2cos2x1)2(2cos x1)(cos x1). 【规律方法】 求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步
7、骤： (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大 值，最小的为最小值. 【互动探究】 2.(2018 年江苏)若函数 f(x)2x3ax21(aR)在(0，) 内有且只有一个零点，则 f(x)在1,1上的最大值与最小值的和 为_. 答案：3 考点3利用导数解决生活中的优化问题 例3：(2016 年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部 分组成，上部分的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1，下部分的形状 是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图 2-17-1)，并要求正四棱柱的
8、图 2-17-1 高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓 库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m， 则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？ 【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意， 求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求 f(x)0 和 f(x)0 时，若 xa，则 g(x)0； 若2a2a，则g(x)0；若ax2a， 则 g(x)0. 当 x2a 时，g(x)有极小值. g(x)在(0,2)上有极小值， 02a2，得1a0. 由，得存在整数 a1，使得函数 f(x)在区间(0,2)上 存在极小值. 【互动探究】